随机变量的期望 期望是概率论中描述随机变量取值的“平均水平”或“中心位置”的核心概念。对于离散型随机变量，期望定义为所有可能取值与其对应概率的加权和： \[ E[ X] = \sum_ {i} x_ i P(X=x_ i), \] 其中求和需满足绝对收敛（即\(\sum |x_ i| P(X=x_ i) < \infty\)）。 对于连续型随机变量，若其概率密度函数为\(f(x)\)，期望定义为： \[ E[ X] = \int_ {-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx, \] 同样要求积分绝对收敛。期望的直观意义是：在大量重复试验中，随机变量的平均值会趋近期望值。 期望的性质 线性性 ：对任意常数\(a, b\)和随机变量\(X, Y\)，有\(E[ aX + bY] = aE[ X] + bE[ Y ]\)。此性质无需假设\(X\)与\(Y\)独立。 单调性 ：若\(X \leq Y\)几乎必然成立，则\(E[ X] \leq E[ Y ]\)。 独立变量的乘积 ：若\(X\)与\(Y\)独立，则\(E[ XY] = E[ X]E[ Y ]\)。 条件期望 条件期望\(E[ X|Y ]\)是给定另一随机变量\(Y\)时\(X\)的期望值，其本身是一个随机变量（关于\(Y\)的函数）。重要性质包括： 迭代期望定律 ：\(E[ E[ X|Y]] = E[ X ]\)。 若\(X\)与\(Y\)独立，则\(E[ X|Y] = E[ X ]\)。 期望与收敛定理 期望与极限的交换需谨慎。以下定理提供条件： 单调收敛定理 ：若非负随机变量序列\(X_ n \uparrow X\)，则\(\lim_ {n\to\infty} E[ X_ n] = E[ X ]\)。 控制收敛定理 ：若\(|X_ n| \leq Y\)且\(E[ Y] < \infty\)，且\(X_ n \to X\)几乎必然，则\(\lim_ {n\to\infty} E[ X_ n] = E[ X ]\)。 应用示例 方差定义 ：方差\(\text{Var}(X) = E[ (X - E[ X])^2 ]\)是期望的直接应用。 协方差 ：\(\text{Cov}(X,Y) = E[ XY] - E[ X]E[ Y ]\)。 风险决策 ：在金融中，期望值用于评估投资的平均收益。 期望是连接概率理论与统计应用的桥梁，其性质为大数定律、矩估计等理论奠定了基础。