图的圈空间与键空间 基本概念引入 图论中，圈空间与键空间是描述图结构的重要代数工具，源于对图中"圈"和"割"的线性表示。我们先明确两个基础对象： 圈 ：图中起点与终点重合的闭合路径，且除首尾顶点外不重复经过顶点（简单圈）。 割 ：通过删除一组边使图连通性增加的边集。最小割即键（bond），指删除后恰使图增加一个连通分量的极小边集。 为建立代数结构，需将图视为边集上的向量空间。 边空间的构造 设图 \( G \) 有边集 \( E \)，在二元域 \( \mathbb{F}_ 2 = \{0,1\} \) 上定义边空间： 每个边子集 \( S \subseteq E \) 对应一个向量，向量分量为1表示边属于 \( S \)，0表示不属于。 向量加法取对称差（即模2加法）：\( S_ 1 + S_ 2 = (S_ 1 \cup S_ 2) \setminus (S_ 1 \cap S_ 2) \)。 边空间的维数为 \( |E| \)，基向量可设为各条边对应的单位向量。 圈空间的生成与维数 所有简单圈的边集可生成子空间，称为圈空间。 关键性质：连通图 \( G \) 的圈空间维数为 \( m - n + c \)，其中 \( m=|E| \), \( n=|V| \), \( c \) 为连通分量数。该值即图的第一贝蒂数（圈秩）。 生成方法：任取一棵生成树 \( T \)，每添加一条非树边会形成唯一一个基本圈，这些基本圈构成圈空间的一组基。 键空间的对偶结构 所有键的边集生成键空间，它与圈空间在边空间中互为正交补空间（基于内积 \( \langle S_ 1, S_ 2 \rangle = |S_ 1 \cap S_ 2| \mod 2 \)）。 键空间维数为 \( n - c \)，即顶点数减连通分量数（割秩）。 生成方法：对顶点集的划分 \( V = A \cup B \)，连接 \( A \) 与 \( B \) 的边构成键；特别地，生成树 \( T \) 的每条树边对应一个基本键（删除该树边后形成的割）。 应用与扩展 电网络理论：基尔霍夫电流定律对应圈空间约束，电压定律对应键空间约束。 平面图对偶性：平面图的圈空间与其对偶图的键空间同构。 同调理论推广：可推广到拟阵理论，圈与键的概念适用于更一般的组合结构。 通过此框架，图的拓扑性质可转化为线性代数问题，为分析连通性、嵌入性等提供强大工具。