代数簇的除子理论
字数 1264 2025-10-29 11:32:30

代数簇的除子理论

代数簇的除子理论是代数几何中的核心工具，用于研究簇上有理函数的零点与极点的分布。下面从基础概念逐步展开：

  1. 除子的直观背景

    • 在复分析中，亚纯函数在复平面上的零点和极点可用整数权重标记（例如 \(f(z) = z^n\) 在 \(z=0\) 处有 \(n\) 重零点）。
    • 推广到代数簇 \(X\)：除子是对 \(X\) 的余维数为 1 的子簇（如曲线上的点、曲面上的曲线）赋予整系数的形式和，记为 \(D = \sum n_i V_i\)，其中 \(n_i \in \mathbb{Z}\)，\(V_i\) 是不可约子簇。

  2. 局部环与赋值

    • 对每个余维 1 子簇 \(V \subset X\)，其一般点处可定义离散赋值 \(\mathrm{ord}_V\)：若有理函数 \(f\) 在 \(V\) 上消失或发散，\(\mathrm{ord}_V(f)\) 表示零点或极点的重数（正为零点，负为极点）。
    • 例如，在曲线 \(C\) 上，\(V\) 是点 \(P\)，\(\mathrm{ord}_P(f)\) 即 \(f\) 在 \(P\) 处的阶数。

  3. 主除子与线性等价

    • 每个非零有理函数 \(f\) 对应一个主除子 \(\mathrm{div}(f) = \sum \mathrm{ord}_V(f) \cdot V\)。主除子描述函数零点与极点的平衡。
    • 两个除子 \(D_1, D_2\) 若差一个主除子（即 \(D_1 - D_2 = \mathrm{div}(f)\)），则称它们线性等价。线性等价是除子分类的基本关系。

  4. 除子类群与 Picard 群

    • 所有除子构成群 \(\mathrm{Div}(X)\)，主除子为其子群，商群 \(\mathrm{Cl}(X) = \mathrm{Div}(X) / \{\text{主除子}\}\) 称为除子类群。
    • 若考虑与嵌入线丛对应的除子（Cartier 除子），其等价类构成 Picard 群 \(\mathrm{Pic}(X)\)，与线丛的同构类一一对应。

  5. 相交理论与数值等价

    • 高维簇中，除子可与其他子簇相交。例如曲面 \(S\) 上，两条曲线 \(C, D\) 的相交数 \(C \cdot D\) 可通过移动引理化为实际交点计数。
    • 若两个除子与所有子簇的相交数相同，则称为数值等价。商群 \(\mathrm{N}^1(X)\)（Néron-Severi 群）是有限生成阿贝尔群，其秩称为 Picard 数。

  6. 应用：线性系统与映射

    • 除子 \(D\) 的所有有效线性等价除子构成线性系统 \(|D|\)。若 \(|D|\) 足够丰富，可定义态射 \(X \to \mathbb{P}^n\)，例如曲线上的典则映射或曲面的分类映射。
    • 丰富的除子（如 ample divisor）对应簇到射影空间的闭嵌入，是代数几何构造几何对象的核心工具。

此理论将局部解析信息（赋值）与全局几何结构（线丛、映射）联系起来，为簇的分类与不变量计算提供统一框架。

代数簇的除子理论 代数簇的除子理论是代数几何中的核心工具，用于研究簇上有理函数的零点与极点的分布。下面从基础概念逐步展开： 除子的直观背景 在复分析中，亚纯函数在复平面上的零点和极点可用整数权重标记（例如 \(f(z) = z^n\) 在 \(z=0\) 处有 \(n\) 重零点）。 推广到代数簇 \(X\)：除子是对 \(X\) 的余维数为 1 的子簇（如曲线上的点、曲面上的曲线）赋予整系数的形式和，记为 \(D = \sum n_ i V_ i\)，其中 \(n_ i \in \mathbb{Z}\)，\(V_ i\) 是不可约子簇。 局部环与赋值 对每个余维 1 子簇 \(V \subset X\)，其一般点处可定义离散赋值 \(\mathrm{ord}_ V\)：若有理函数 \(f\) 在 \(V\) 上消失或发散，\(\mathrm{ord}_ V(f)\) 表示零点或极点的重数（正为零点，负为极点）。 例如，在曲线 \(C\) 上，\(V\) 是点 \(P\)，\(\mathrm{ord}_ P(f)\) 即 \(f\) 在 \(P\) 处的阶数。 主除子与线性等价 每个非零有理函数 \(f\) 对应一个主除子 \(\mathrm{div}(f) = \sum \mathrm{ord}_ V(f) \cdot V\)。主除子描述函数零点与极点的平衡。 两个除子 \(D_ 1, D_ 2\) 若差一个主除子（即 \(D_ 1 - D_ 2 = \mathrm{div}(f)\)），则称它们线性等价。线性等价是除子分类的基本关系。 除子类群与 Picard 群 所有除子构成群 \(\mathrm{Div}(X)\)，主除子为其子群，商群 \(\mathrm{Cl}(X) = \mathrm{Div}(X) / \{\text{主除子}\}\) 称为除子类群。 若考虑与嵌入线丛对应的除子（Cartier 除子），其等价类构成 Picard 群 \(\mathrm{Pic}(X)\)，与线丛的同构类一一对应。 相交理论与数值等价 高维簇中，除子可与其他子簇相交。例如曲面 \(S\) 上，两条曲线 \(C, D\) 的相交数 \(C \cdot D\) 可通过移动引理化为实际交点计数。 若两个除子与所有子簇的相交数相同，则称为数值等价。商群 \(\mathrm{N}^1(X)\)（Néron-Severi 群）是有限生成阿贝尔群，其秩称为 Picard 数。 应用：线性系统与映射 除子 \(D\) 的所有有效线性等价除子构成线性系统 \(|D|\)。若 \(|D|\) 足够丰富，可定义态射 \(X \to \mathbb{P}^n\)，例如曲线上的典则映射或曲面的分类映射。 丰富的除子（如 ample divisor）对应簇到射影空间的闭嵌入，是代数几何构造几何对象的核心工具。 此理论将局部解析信息（赋值）与全局几何结构（线丛、映射）联系起来，为簇的分类与不变量计算提供统一框架。