代数簇的奇点 代数簇的奇点是代数几何中描述几何对象"光滑性"的重要概念。一个点如果不够光滑，就称为奇点。 仿射代数簇的奇点定义 设 \( V \subset \mathbb{A}^n \) 是一个仿射代数簇，由理想 \( I(V) \subset k[ x_ 1, \dots, x_ n] \) 定义。点 \( p = (a_ 1, \dots, a_ n) \in V \) 处的 雅可比矩阵 定义为由多项式偏导数组成的矩阵： \[ J_ p(V) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_ 1}{\partial x_ 1}(p) & \cdots & \frac{\partial f_ 1}{\partial x_ n}(p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_ m}{\partial x_ 1}(p) & \cdots & \frac{\partial f_ m}{\partial x_ n}(p) \end{pmatrix} \] 其中 \( \{f_ 1, \dots, f_ m\} \) 是 \( I(V) \) 的生成元集。点 \( p \) 被称为 光滑点 （或非奇异点），如果雅可比矩阵 \( J_ p(V) \) 的秩等于 \( n - \dim(V) \)。否则，点 \( p \) 被称为 奇点 。 直观理解与例子 这个定义源于微分几何中的隐函数定理。雅可比矩阵的秩实质上衡量了在点 \( p \) 处定义簇的方程所施加的"独立约束"的数量。如果约束是独立的，该点附近看起来像一个光滑的流形。 光滑曲线 ：圆 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上任意一点的雅可比矩阵为 \( (2x, 2y) \)，在圆上秩恒为1。由于曲线维数为1，\( n - \dim(V) = 2-1=1 \)，所以圆上所有点都是光滑的。 奇点例子 ：考虑平面曲线 \( y^2 = x^3 \)（尖点）。其雅可比矩阵在原点 \( (0,0) \) 处为 \( (0, 0) \)，秩为0。而 \( n - \dim(V) = 2-1=1 \)，所以原点是奇点。图像在此处有一个"尖"，不光滑。 射影簇与局部环刻画 奇点的概念可以推广到射影簇。更内蕴的刻画是使用 局部环 。点 \( p \in V \) 处的局部环 \( \mathcal{O} {V,p} \) 是正则函数在 \( p \) 的某个邻域内有定义的函数芽的集合。一个基本结论是：点 \( p \) 是光滑的，当且仅当它的局部环 \( \mathcal{O} {V,p} \) 是一个 正则局部环 。正则局部环是交换代数中性质非常好的一类环，其克鲁尔维数等于其极大理想的生成元个数（即嵌入维数）。 奇点的意义与分类 奇点标志着几何对象的"病理"行为，是代数几何研究的核心之一。 奇点解消 ：一个主要问题是能否通过一个"好的"映射 \( \pi: \tilde{V} \to V \) 将一个带奇点的簇 \( V \) 变成一个光滑的簇 \( \tilde{V} \)（即奇点的解消）。在特征零领域，广中平佑证明了奇点解消的存在性定理。 奇点分类 ：奇点可以根据其性质进行分类，例如 有理奇点 、 椭圆奇点 等。分类的标准可能涉及解消后的例外纤维的几何，或者局部环的代数不变量。奇点的研究紧密联系于 奇点理论 和 双有理几何 。 相关拓展概念 奇点范畴 ：在导出范畴的框架下，可以定义与簇奇点相关的 奇点范畴 ，它是研究簇奇点性质和矩阵分解等问题的有力工具。 奇点与模空间 ：在构造参数化几何对象的模空间时，往往需要处理由对象本身奇点所导致的问题，理解奇点结构对于构建紧化的模空间至关重要。