代数簇的有理映射 代数簇的有理映射是连接两个代数簇的一种“几乎处处”有定义的映射。要理解它，我们需要从更基础的概念出发。 第一步：回顾代数簇与正则函数 一个仿射代数簇是一个由多项式方程组定义的几何对象。例如，在复数域上，方程 \(y^2 = x^3 + x\) 定义了一条曲线，即一个代数簇。在这个簇上，一个“正则函数”是指一个能够用多项式（或有理函数，但分母不在该簇上为零）来定义的函数。例如，在簇 \(V: y^2 = x^3 + x\) 上，函数 \(f(x, y) = x + y\) 就是一个正则函数。 第二步：从函数到映射 一个从簇 \(X\) 到簇 \(Y\) 的“正则映射”是指一个由正则函数构成的映射，并且它的像始终落在 \(Y\) 中。例如，从簇 \(X: y^2 = x^3 + x\) 到仿射直线 \(\mathbb{A}^1\) 的映射 \((x, y) \mapsto x\) 就是一个正则映射。 第三步：有理映射的引入与动机 然而，正则映射的要求非常严格。很多时候，我们希望考虑一种更灵活的映射，它可能只在簇的一个“稠密”开子集上有定义（稠密意味着它的闭包是整个簇）。这种映射就是有理映射。 一个从簇 \(X\) 到簇 \(Y\) 的 有理映射 \(\phi: X \dashrightarrow Y\) 被定义为一个正则映射 \(\phi_ U: U \to Y\)，其中 \(U\) 是 \(X\) 的一个非空稠密开子集。我们并不关心它在 \(U\) 之外的行为。如果存在另一个开子集 \(V\) 和正则映射 \(\phi_ V: V \to Y\)，并且在 \(U \cap V\) 上 \(\phi_ U\) 和 \(\phi_ V\) 相等，那么它们定义的是同一个有理映射。 第四步：有理映射的核心例子 最典型的例子是有理函数本身。一个有理函数 \(f(x) = p(x)/q(x)\) 在 \(q(x) \neq 0\) 的点上有定义。这些点构成了整个空间的一个稠密开子集。因此，每个有理函数都可以看作是从代数簇到仿射直线的有理映射。 更一般地，考虑从射影平面 \(\mathbb{P}^2\) 到自身的映射：\(\phi(x:y:z) = (yz : xz : xy)\)。这个映射在那些坐标不全为0的点（即整个 \(\mathbb{P}^2\)）上似乎都有定义，但注意在点 \((1:0:0)\) 处，它变为 \((0:0:0)\)，这是未定义的。实际上，它只在满足 \(xyz \neq 0\) 的点集（一个稠密开集）上是一个良定义的映射到 \(\mathbb{P}^2\) 的态射。因此，\(\phi\) 是一个有理映射。 第五步：支配有理映射与双有理等价 如果一个有理映射 \(\phi: X \dashrightarrow Y\) 的像在 \(Y\) 中是稠密的，我们称 \(\phi\) 是一个 支配有理映射 。这意味着 \(\phi\) 在“大部分”点上将 \(X\) 的局部结构“铺满”了 \(Y\)。 如果存在一个反向的支配有理映射 \(\psi: Y \dashrightarrow X\)，使得 \(\phi \circ \psi\) 和 \(\psi \circ \phi\) 都是恒等映射（作为有理映射），那么我们称 \(X\) 和 \(Y\) 是 双有理等价的 。 第六步：双有理等价的意义 双有理等价是代数几何中一个比同构更弱的等价关系。两个簇是双有理等价的，当且仅当它们包含同构的稠密开子集。这意味着它们在“大部分”地方看起来是一样的，可能只在某个低维子集上有所不同。 例如，任何代数曲线（一维簇）如果是有理的（即双有理等价于一条直线），那么它必然同构于一条去掉有限个点的直线。但在高维情况下，差异可以很大。一个著名的例子是 双有理几何 的基本问题：两个双有理等价的代数曲面（二维簇）可以通过一系列简单的变换（称为“胀开”和“胀灭”）互相得到，但它们可能不同构。双有理几何的核心就是研究在双有理等价下保持不变的性质（即 双有理不变量 ），例如维数、函数域等。