圆的旋轮线 我们先从最基础的概念开始：想象一个圆在一条直线上无滑动地滚动。现在，关注固定在滚动圆圆周上的一个点。这个点在圆滚动过程中所经过的路径，就形成了一条曲线，这条曲线被称为“旋轮线”。 为了更精确地理解，我们来建立数学模型。设定初始状态：设滚动圆的半径为 \( r \)，开始时，圆心位于坐标点 \( (0, r) \)，我们关注的那个固定点 \( P \) 恰好位于圆的最低点，即与直线（我们设为x轴）的接触点 \( (0, 0) \)。 现在，让圆向右滚动。假设圆滚动了角度 \( \theta \)（以弧度为单位）。由于是纯滚动（无滑动），圆心的水平位移距离正好等于滚过的圆弧长度。圆弧长度是 \( r\theta \)，所以此时圆心的坐标移动到了 \( (r\theta, r) \)。 接下来，我们需要找到相对于圆心的点 \( P \) 的位置。在初始状态时，点 \( P \) 在圆心的正下方。当圆滚动了角度 \( \theta \) 后，从圆心的位置看，点 \( P \) 相对于圆心转过的角度也是 \( \theta \)（但方向与滚动方向相关）。为了从初始的最低点位置到达新位置，点 \( P \) 相对于圆心实际上是逆时针旋转了 \( \theta \) 角。因此，点 \( P \) 相对于圆心的坐标是 \( (-r\sin\theta, -r\cos\theta) \)。 将圆心的坐标和点 \( P \) 的相对坐标相加，就得到了点 \( P \) 在滚动过程中的绝对坐标 \( (x, y) \)： \( x = r\theta - r\sin\theta = r(\theta - \sin\theta) \) \( y = r - r\cos\theta = r(1 - \cos\theta) \) 这一组方程 \( \begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) \\ y = r(1 - \cos\theta) \end{cases} \) 就是旋轮线的参数方程，参数为滚动角 \( \theta \)。 旋轮线有几个非常有趣且重要的性质。首先，它是一个“等时降落”曲线。意思是，如果一个质点只在重力的作用下从旋轮线上任意一点开始下滑，它到达旋轮线最低点所需的时间是相同的，与起点的位置无关。这个性质使得旋轮线也被称为“等时曲线”。 其次，旋轮线也是一条“最速降线”。考虑两个不在同一铅垂线上的点A和B，A点高于B点。如果连接A和B架设一条光滑的轨道，让一个质点在重力作用下从A无摩擦滑到B，那么在所有可能的曲线形状中，沿旋轮线轨道滑下所需的时间是最短的。 旋轮线还有其他的变体。例如，如果我们关注的点不是在滚动的圆周上，而是在圆内或圆外，那么画出的轨迹就称为“短幅旋轮线”或“长幅旋轮线”。如果滚动的圆不是在直线而是在另一个圆（静止的圆）外侧或内侧滚动，那么形成的曲线就分别称为“外摆线”或“内摆线”。