概率测度的收敛性

1. 基本概念引入
   概率测度的收敛性研究的是概率分布（或测度）序列的极限行为。设有一列概率测度 \(\{P_n\}\) 和概率测度 \(P\)（定义在同一个可测空间上），我们需要严格定义“\(P_n\) 收敛于 \(P\)”的含义。常见的收敛模式包括全变差收敛、弱收敛（也称为分布收敛）和测度弱收敛（适用于更一般的测度）。

2. 全变差收敛
   全变差距离定义为：

\[ \|P_n - P\|_{\mathrm{TV}} = \sup_{A} |P_n(A) - P(A)|, \]

其中上确界取遍所有可测集 \(A\)。若 \(\|P_n - P\|_{\mathrm{TV}} \to 0\)，则称 \(P_n\) 在全变差意义下收敛于 \(P\)。这种收敛非常强，要求所有事件的概率一致收敛。

3. 弱收敛（分布收敛）
   弱收敛是更常用的概念，记为 \(P_n \Rightarrow P\)。它要求对所有有界连续函数 \(f\)，有

\[ \int f \, dP_n \to \int f \, dP. \]

等价地，对所有满足 \(P(\partial A) = 0\) 的集合 \(A\)（即 \(A\) 的边界测度为 0），有 \(P_n(A) \to P(A)\)。弱收敛只关注概率分布的“整体形状”，不要求概率值在每一点上都收敛。

4. Prokhorov 定理
   该定理是弱收敛理论的核心结果：在波兰空间（完备可分的度量空间）上，概率测度序列的相对紧性（即任意子列存在弱收敛子列）等价于紧性（概率质量不会逃逸到无穷远）。这为判断弱收敛提供了关键工具。

5. 与其他收敛的关系

   • 全变差收敛蕴含弱收敛，但反之不成立。例如，在连续分布中轻微平移后的序列可能弱收敛但不全变差收敛。
   • 若概率测度序列弱收敛且极限 \(P\) 是离散的，则弱收敛等价于逐点收敛于 \(P\) 的概率质量函数。

6. 应用场景
   概率测度的收敛性在统计学（如经验分布的渐近行为）、随机过程（如扩散近似）和蒙特卡洛方法中至关重要。例如，中心极限定理本质上是概率测度弱收敛的结果。