复变函数的奇点性质分析 第一步：奇点性质的分类框架回顾 首先我们需要明确，复变函数的奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三类（具体定义已在前文"复变函数的奇点类型判定"中讲解）。本节重点在于如何通过函数的局部表现来精确判断奇点性质。 第二步：可去奇点的判定特征 若函数f(z)在奇点z₀的邻域内有界（即存在M>0使得|f(z)|≤M），则该奇点必为可去奇点。例如f(z)=sin(z)/z在z=0处虽未定义，但极限存在且为1，可通过定义f(0)=1使其解析。其洛朗级数不含负幂次项。 第三步：极点的阶数判定方法 对于极点，关键在确定其阶数。设函数在z₀处有极点，则存在最小正整数m使得(z-z₀)ᵐf(z)在z₀处解析且不为零。实用判定法：若f(z)可表示为P(z)/Q(z)且Q(z₀)=0，则极点的阶数等于Q(z)在z₀处的零点阶数（需验证P(z₀)≠0）。 第四步：本性奇点的本质特征 本性奇点最显著的特征是魏尔斯特拉斯定理：在任意邻域内函数值稠密分布于整个复平面。等价表述为极限lim_ {z→z₀}f(z)不存在（包括无穷极限）。其洛朗级数含有无穷多个负幂次项，如e¹/ᶻ在z=0处的展开。 第五步：奇点性质与极限行为的对应关系 总结三类奇点的极限特征： 可去奇点：极限存在且有限 极点：极限为∞（例如1/(z-z₀)ᵐ） 本性奇点：极限不存在且不为∞ 这一对应关系可作为快速判据。 第六步：应用留数计算的关联性 奇点性质直接决定留数计算方式（留数定理已讲解）： 可去奇点留数必为零 m阶极点留数公式：Res(f,z₀)=lim_ {z→z₀}¹/[ (m-1)!] dᵐ⁻¹/dzᵐ⁻¹[ (z-z₀)ᵐf(z) ] 本性奇点需通过洛朗级数系数a₋₁求留数 这一关联体现了奇点分析的实际价值。