\*共鸣定理\*（Uniform Boundedness Principle） 背景与动机 在分析学中，我们常研究一簇线性算子的性质。例如，若对每个点 \(x\)，一簇算子 \(\{T_ n\}\) 满足 \(\sup_ n \|T_ n x\| < \infty\)，能否推出 \(\sup_ n \|T_ n\| < \infty\)？共鸣定理给出了肯定回答，其核心是描述 点态有界性 与 一致有界性 的关系。 关键概念准备 贝尔纲定理 ：若 \(X\) 是完备的度量空间（如巴拿赫空间），则可数个无处稠密集的并集不可能是全空间。这意味着“足够大”的集合（如包含某个开球）必在空间中具有内部点。 点态有界 ：一族算子 \(\{T_ \alpha\} {\alpha \in A} \subset B(X,Y)\) 称为点态有界的，若对每个 \(x \in X\)，有 \(\sup \alpha \|T_ \alpha x\|_ Y < \infty\)。 定理的严格表述 设 \(X\) 是巴拿赫空间，\(Y\) 是赋范空间，\(\{T_ \alpha\} {\alpha \in A} \subset B(X,Y)\) 是一族有界线性算子。若对任意 \(x \in X\)，有 \(\sup \alpha \|T_ \alpha x\| < \infty\)，则存在常数 \(M > 0\)，使得 \(\sup_ \alpha \|T_ \alpha\| \leq M\)。 证明思路（通过反证法） 假设结论不成立，即 \(\sup_ \alpha \|T_ \alpha\| = \infty\)。 构造集合 \(E_ n = \{x \in X : \sup_ \alpha \|T_ \alpha x\| \leq n\}\)，利用点态有界性得 \(X = \bigcup_ {n=1}^\infty E_ n\)。 通过贝尔纲定理，某个 \(E_ {n_ 0}\) 必包含一个开球 \(B(x_ 0, r)\)。 对任意单位向量 \(y \in X\)，令 \(x = x_ 0 + \frac{r}{2} y \in B(x_ 0, r)\)，利用线性性估计 \(\|T_ \alpha y\|\)，可推出 \(\|T_ \alpha\| \leq \frac{4n_ 0}{r}\)，与假设矛盾。 推论与应用示例 逐点收敛算子的有界性 ：若 \(T_ n x \to Tx\) 对每个 \(x\) 成立，则 \(T\) 有界且 \(\|T\| \leq \liminf \|T_ n\|\)。 傅里叶级数的发散现象 ：存在连续函数，其傅里叶级数在某个点发散，因傅里叶部分和算子的范数无界。 几何解释 共鸣定理揭示了线性算子的有界性在“局部”（逐点）和“全局”（一致）之间的深刻联系，体现了巴拿赫空间中线性结构的刚性。