圆的位似 圆的位似是一种几何变换，描述了两个圆之间或一个圆与自身之间的一种特定缩放关系。 位似变换的基本概念 位似变换由一个中心点O（称为位似中心）和一个非零实数k（称为位似比）所确定。对于平面上的任意一点P，其位似对应点P‘由向量关系OP’ = k • OP决定。当k > 0时，P与P‘在位似中心O的同侧；当k < 0时，P与P‘在位似中心O的异侧。位似变换保持角度不变，并将直线映射为直线。 圆的位似关系 给定一个圆C1（圆心O1，半径r1），和一个位似变换（位似中心O，位似比k）。该变换将圆C1映射为另一个圆C2。圆C2的圆心O2是O1的位似点，即O2在直线OO1上，且满足OO2 = |k| • OO1（方向由k的正负决定）。圆C2的半径r2 = |k| • r1。所有经过位似中心O的直线，如果与圆C1相交（或相切），那么它也必然与圆C2相交（或相切），并且交点满足位似关系。 两圆位似中心的确定 任意两个不重合的圆（半径分别为r和R，且R ≥ r），通常存在两个位似中心： 外位似中心 ：连接两圆圆心O1和O2的直线与两圆的外公切线交点。此外位似中心位于圆心连线O1O2上，且到两圆圆心的距离之比等于两圆半径之比，即O1I_ e / O2I_ e = r / R。当两圆外离、外切或相交时，外位似中心在两点之间（相切时为切点）或圆外。 内位似中心 ：连接两圆圆心O1和O2的直线与两圆的内公切线交点。此内位似中心也位于圆心连线O1O2上，但位于两圆心之间，且满足O1I_ i / O2I_ i = r / R。当两圆内离、内切或内含时，内位似中心在两圆心之间（内切时为切点）或圆外。 位似的应用 圆的位似概念是解决几何问题的有力工具，特别是在处理圆的幂、根轴、相切问题以及复杂几何图形的缩放和构造中。通过识别图形中的位似关系，可以将复杂问题转化为简单的比例问题。