模的分解 模的分解是研究如何将一个模拆分为更简单、更基本的子模的方法。理解模的分解有助于分析模的结构和性质。 第一步：子模与直和分解的基本概念 模的分解始于子模的概念。设 \( M \) 是一个 \( R \)-模，\( N \) 是 \( M \) 的子模。如果存在子模 \( N_ 1, N_ 2, \dots, N_ k \) 使得 \( M = N_ 1 \oplus N_ 2 \oplus \dots \oplus N_ k \)，即 \( M \) 是这些子模的直和，那么称 \( M \) 可分解为子模 \( N_ 1, N_ 2, \dots, N_ k \) 的直和。直和分解要求每个元素 \( m \in M \) 可唯一表示为 \( m = n_ 1 + n_ 2 + \dots + n_ k \)，其中 \( n_ i \in N_ i \)，且 \( N_ i \cap \sum_ {j \neq i} N_ j = \{0\} \)。 第二步：不可分解模的定义 一个模 \( M \) 称为不可分解模，如果它不能写成两个非零子模的直和。即，若 \( M = N_ 1 \oplus N_ 2 \)，则 \( N_ 1 = 0 \) 或 \( N_ 2 = 0 \)。不可分解模是模分解中的基本构件，类似于整数分解中的素数。 第三步：模的分解定理——Krull-Schmidt 定理 Krull-Schmidt 定理是模分解的核心结果。它指出：若 \( M \) 是一个满足升链条件和降链条件的模（例如，诺特模和阿尔廷模），则 \( M \) 可分解为有限个不可分解子模的直和：\( M = M_ 1 \oplus M_ 2 \oplus \dots \oplus M_ k \)。且这种分解在重排和同构意义下唯一，即若另有分解 \( M = N_ 1 \oplus N_ 2 \oplus \dots \oplus N_ l \)，则 \( k = l \)，且存在置换 \( \sigma \) 使得 \( M_ i \cong N_ {\sigma(i)} \)。 第四步：分解定理的应用与实例 考虑一个有限生成模 over 主理想整环（PID）。根据模的结构定理，该模可分解为自由部分和扭部分的直和，扭部分又进一步分解为循环模的直和，每个循环模同构于 \( R/(d_ i) \)，其中 \( d_ i \) 是 PID 中的元素。这种分解是 Krull-Schmidt 定理的特例，不可分解模对应于循环模 \( R/(p^n) \)，其中 \( p \) 是不可约元。 第五步：模分解的推广与相关概念 模的分解可推广到无限直和或直积的情形，但唯一性可能不再成立。此外，在范畴论中，分解对应于对象的可分解性，与不可约对象相关。在表示论中，模的分解用于分析群或代数的表示结构，例如半单模可分解为单模的直和。