\*弱收敛\* 弱收敛是泛函分析中描述函数序列或向量序列收敛性的一种重要概念。与强收敛（按范数收敛）不同，弱收敛关注的是序列在“所有连续线性泛函”作用下的行为。 动机：为何需要弱收敛？ 在无穷维空间中，有界序列不一定有按范数收敛的子列。例如，在希尔伯特空间 l^2 中，考虑标准正交基序列 {e_n} ，其中 e_n 在第n个分量为1，其余为0。对于 n ≠ m ，有 ||e_n - e_m|| = √2 ，因此该序列没有按范数收敛的子列。然而，从几何直觉上看，这些向量“漂浮”在单位球面上，似乎应该存在某种更弱的“凝聚”性质。弱收敛正是为了刻画这种性质而引入的。 严格定义 设 X 是一个赋范线性空间， {x_n} 是 X 中的一个序列， x ∈ X 。我们称序列 {x_n} 弱收敛 于 x ，记作 x_n ⇀ x ，如果对于 所有 的 f ∈ X^* （即 X 的连续对偶空间），都有： lim_{n→∞} f(x_n) = f(x) 换句话说，弱收敛要求序列在每一个连续线性泛函 f 的作用下，都收敛到 f(x) 这个数值。 与强收敛的关系 强收敛蕴含弱收敛 ：如果 x_n → x （按范数收敛），那么对任意 f ∈ X^* ，由 f 的连续性有 |f(x_n) - f(x)| ≤ ||f|| ||x_n - x|| → 0 。因此 f(x_n) → f(x) ，即 x_n ⇀ x 。 反之则不成立 ：回到上面的例子，在 l^2 中，标准正交基序列 {e_n} 不按范数收敛于0（因为 ||e_n|| = 1 ）。但是，对于任意 f ∈ (l^2)^* ，根据里斯表示定理，存在唯一的 y ∈ l^2 使得 f(e_n) = <e_n, y> = y_n （ y 的第n个分量）。由于 y ∈ l^2 ，级数 Σ|y_n|^2 收敛，故通项 y_n 必然趋于0，即 f(e_n) → 0 = f(0) 。所以 e_n ⇀ 0 ，这是一个弱收敛但不强收敛的典型例子。 基本性质 弱极限若存在则唯一 ：如果 x_n ⇀ x 且 x_n ⇀ y ，那么 x = y 。这是哈恩-巴拿赫定理的一个推论。 弱收敛序列必有界 ：如果 {x_n} 弱收敛，那么存在常数 M > 0 ，使得对一切 n 有 ||x_n|| ≤ M 。这是共鸣定理的一个应用。 弱收敛的线性性质 ：如果 x_n ⇀ x ， y_n ⇀ y ， α, β 是标量，那么 αx_n + βy_n ⇀ αx + βy 。 弱序列紧性 这是弱收敛最重要的应用之一。在无穷维空间中，单位闭球不再是（按范数）紧的。然而，对于一大类空间（自反空间），我们有： 定理 ：如果赋范空间 X 是自反的（例如，所有有限维空间、 L^p 空间和 l^p 空间对于 1 < p < ∞ 都是自反的），那么 X 中的任意有界序列都包含一个弱收敛的子列。 这个性质在变分法和偏微分方程的存在性证明中至关重要，因为它允许从有界序列中“提取”一个具有某种收敛性的子列。