魏尔斯特拉斯逼近定理 魏尔斯特拉斯逼近定理是分析学中的基本定理之一，它指出闭区间上的连续函数可以用多项式函数一致逼近。下面从基础概念逐步展开说明。 1. 问题背景：函数逼近的意义 在分析学中，研究函数时常希望用“简单”的函数（如多项式）来近似复杂的连续函数。这种逼近有助于简化计算、证明性质，或为数值方法提供理论基础。但需明确： 一致收敛 ：逼近函数序列需在整个区间上均匀地接近目标函数，而不仅是逐点收敛。 多项式优势 ：多项式仅通过加、乘运算定义，易于分析和计算。 2. 定理的严格表述 设 \( f \) 是定义在闭区间 \([ a, b ]\) 上的连续函数，则对任意 \(\epsilon > 0\)，存在多项式 \( P(x) \) 使得： \[ \sup_ {x \in [ a, b]} |f(x) - P(x)| < \epsilon. \] 即 \( f \) 可由多项式一致逼近。 3. 伯恩斯坦多项式的引入 魏尔斯特拉斯的原始证明较复杂，现常用 伯恩斯坦 构造性证明： 对 \([ 0, 1 ]\) 区间上的连续函数 \( f \)，定义伯恩斯坦多项式： \[ B_ n(f; x) = \sum_ {k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}. \] 该多项式通过采样 \( f \) 在等分点 \( k/n \) 的值，加权组合而成。 4. 伯恩斯坦多项式为何逼近连续函数？ 关键步骤： 概率解释 ：将 \( B_ n(f; x) \) 视为函数 \( f \) 在二项分布下的期望值（由大数定律，当 \( n \to \infty \) 时收敛到 \( f(x) \)）。 一致性证明 ：利用 \( f \) 的连续性（一致连续），估计 \( |B_ n(f; x) - f(x)| \) 的上界，证明其随 \( n \) 增大而趋于零。 5. 定理的推广与意义 高维情形 ：定理可推广到紧集上的多元连续函数（如斯通-魏尔斯特拉斯定理）。 现代应用 ：为有限元方法、信号处理中的滤波器设计提供理论支撑。 通过这一构造，魏尔斯特拉斯定理将连续函数与代数对象（多项式）联系起来，成为分析学与计算数学的桥梁。