圆的极坐标方程 圆在极坐标下的方程是描述圆上点的另一种方式。极坐标用极径 \( r \) 和极角 \( \theta \) 表示点的位置，圆心位置和半径不同时，方程形式会变化。以下分步骤说明： 极坐标基础回顾 极坐标中点 \( P \) 的坐标为 \( (r, \theta) \)，其中 \( r \) 是到极点 \( O \) 的距离，\( \theta \) 是从极轴（通常为 \( x \) 轴正半轴）逆时针旋转的角度。 与直角坐标的转换关系： \[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta. \] 圆心在极点的圆 若圆心与极点重合，半径为 \( a \)，则圆上所有点满足 \( r = a \)（\( \theta \) 任意）。 方程： \[ r = a \quad (a > 0). \] 例如，\( r = 3 \) 表示以极点为圆心、半径为 3 的圆。 圆心在极轴上且经过极点 设圆心在 \( (a, 0) \)（直角坐标），半径为 \( a \)，则圆经过极点。 代入直角坐标方程 \( (x - a)^2 + y^2 = a^2 \)，利用 \( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \) 得： \[ r^2 \cos^2 \theta - 2ar \cos \theta + a^2 + r^2 \sin^2 \theta = a^2. \] 化简为 \( r^2 - 2ar \cos \theta = 0 \)，即： \[ r = 2a \cos \theta. \] 注意：\( \theta \) 需在 \( [ -\pi/2, \pi/2] \) 内，否则 \( \cos \theta < 0 \) 会导致 \( r < 0 \)，需根据极坐标的对称性处理。 圆心在任意位置 设圆心直角坐标为 \( (r_ 0, \phi) \)（极坐标表示圆心），半径为 \( a \)。 直角坐标方程： \[ (x - r_ 0 \cos \phi)^2 + (y - r_ 0 \sin \phi)^2 = a^2. \] 代入 \( x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \) 得： \[ r^2 - 2r r_ 0 \cos(\theta - \phi) + r_ 0^2 = a^2. \] 这是圆在极坐标下的通用方程，需根据 \( r_ 0 \) 与 \( a \) 的大小关系判断圆是否包含极点。 应用与变形 若圆经过极点（即 \( r_ 0 = a \)），方程可简化为 \( r = 2a \cos(\theta - \phi) \)。 通过调整 \( \phi \) 可旋转圆的方向，例如 \( \phi = \pi/2 \) 时圆心在 \( y \) 轴上，方程为 \( r = 2a \sin \theta \)。 图像与验证 绘制极坐标方程时，需注意 \( r \) 可能为负值（表示反向延长线上的点），通常取 \( r \geq 0 \) 并调整 \( \theta \) 范围。 实例：方程 \( r = 4 \cos \theta \) 对应圆心在 (2,0)、半径为 2 的圆，验证时代入 \( \theta = 0 \) 得 \( r = 4 \)（点 (4,0)），\( \theta = \pi/2 \) 得 \( r = 0 \)（极点）。 通过以上步骤，可系统理解圆在极坐标下的表示方法，并为学习更复杂的极坐标曲线奠定基础。