谱映射定理 第一步：从函数演算的直观概念引入 在初等数学中，我们熟悉对一个数施加函数运算。例如，如果有一个数 λ 和一个多项式函数 p(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ，那么 p(λ) 就是一个新的数。谱映射定理的核心思想是将这种“函数演算”的概念推广到更一般的算子（可视为无限维空间上的矩阵）上。 对于一个线性算子 T（例如定义在巴拿赫空间或希尔伯特空间上），我们想知道“对算子 T 施加一个函数 p 得到的新算子 p(T)” 的谱（即其特征值的推广集合）与“算子 T 本身的谱”之间有什么关系。直观上，我们希望有这样一个自然的对应关系：p(T) 的谱就是 p(σ(T))，即对 T 的谱中的每一个点 λ 施加函数 p 后得到的集合。谱映射定理正是精确地描述了这种关系。 第二步：明确算子演算与谱的定义 在深入定理之前，我们需要严格定义几个关键概念： 算子的多项式演算 ：如果 p(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙxⁿ 是一个多项式，那么对于线性算子 T，我们定义 p(T) 为： p(T) = a₀I + a₁T + a₂T² + ... + aₙTⁿ 其中 I 是恒等算子。这是一个良定义的、从多项式环到算子代数的同态映射。 算子的谱 σ(T) ：对于一个定义在复巴拿赫空间 X 上的有界线性算子 T，其谱 σ(T) 是所有使得算子 (T - λI) 不可逆（即不是双射或者其逆算子无界）的复数 λ 构成的集合。谱是特征值概念的推广，在无限维空间中，一个算子的谱可能包含非特征值的点（例如连续谱和剩余谱）。 第三步：陈述多项式情形的谱映射定理 对于多项式函数，谱映射定理有非常简洁和完美的形式。 定理（多项式谱映射定理） ：设 T 是复巴拿赫空间 X 上的有界线性算子，p 是一个复系数多项式。那么，算子 p(T) 的谱与 T 的谱通过函数 p 有如下关系： σ(p(T)) = p(σ(T)) = { p(λ) | λ ∈ σ(T) }. 这意味着什么？ 等式的左边 σ(p(T)) 是 新算子 p(T) 的谱。 等式的右边 p(σ(T)) 是 原算子 T 的谱 σ(T) 中所有点经过函数 p 映射后得到的数的集合。 定理断言，这两个集合是 完全相等 的。 第四步：理解定理的深刻含义与一个简单例子 这个定理建立了算子演算和谱集之间的深刻联系。它告诉我们，要了解一个复杂算子 p(T) 的谱性质，我们只需要了解简单算子 T 的谱，然后施加一个函数映射即可。 例子 ：考虑算子 T 和多项式 p(x) = x²。 定理告诉我们：σ(T²) = { λ² | λ ∈ σ(T) }。 假设我们知道 T 的谱是某个闭单位圆盘：σ(T) = { λ ∈ C | |λ| ≤ 1 }。 那么，我们可以立即得出结论：T² 的谱是 σ(T²) = { λ² | |λ| ≤ 1 } = { μ ∈ C | |μ| ≤ 1 }。因为当 λ 跑遍整个单位圆盘时，λ² 也跑遍整个单位圆盘。 第五步：推广到更一般的函数演算（全纯函数演算） 谱映射定理的强大之处在于它可以推广到远不止多项式的情形。通过使用 全纯函数演算 ，我们可以对一大类函数（在 T 的谱的一个邻域内全纯的函数 f）定义 f(T)。 其基本思想是利用柯西积分公式： f(T) = (1/(2πi)) ∮_ Γ f(z) (zI - T)⁻¹ dz 其中 Γ 是包围了 σ(T) 的一条或几条可求长简单闭曲线。 对于这样定义的 f(T)，谱映射定理依然成立： 定理（全纯函数演算的谱映射定理） ：设 T 是复巴拿赫空间上的有界线性算子，f 是在 σ(T) 的一个邻域上全纯的函数。那么有： σ(f(T)) = f(σ(T)). 这个推广使得谱映射定理成为算子理论中一个极其强大的工具，它允许我们使用复杂的函数来分析和变换算子，同时清晰地掌控其谱的变化。 总结 ： 谱映射定理从一个简单的想法——对算子的谱进行函数映射——出发，建立了从多项式到全纯函数的强大框架。它保证了算子演算不会产生“意外”的谱，新算子的谱完全由原算子的谱通过函数映射决定。这是联系算子代数与复分析的关键桥梁，在算子的分解、扰动理论以及数学物理中都发挥着核心作用。