模的直和与直积

字数 3479 2025-10-29 11:32:31

模的直和与直积

我们来探讨模论中两个核心的构造方法：直和与直积。它们允许我们将较小的、结构更简单的模组合成更大的模，或者将复杂的模分解为更易处理的部分。

第一步：从有限个模的直和开始

设想你有一个域 \(K\) 上的向量空间 \(V\)。你已经知道，如果找到了它的一组基，那么 \(V\) 中的每一个向量都可以唯一地表示为这些基向量的线性组合。这等价于说，向量空间 \(V\) 是这些一维子空间（每个由一個基向量生成）的“直和”。

现在，我们将这个概念推广到更一般的模（比如环 \(R\) 上的模）上。假设我们有有限个 \(R\)-模 \(M_1, M_2, \dots, M_n\)。它们的**（外部）直和**，记作 \(M_1 \oplus M_2 \oplus \dots \oplus M_n\)，定义如下：

构造：这个直和模是所有有序 \(n\)-元组 \((m_1, m_2, \dots, m_n)\) 构成的集合，其中每个 \(m_i\) 属于对应的 \(M_i\)。
运算：模的加法和标量乘法是按分量定义的：
\((m_1, \dots, m_n) + (m'_1, \dots, m'_n) = (m_1 + m'_1, \dots, m_n + m'_n)\)
\(r \cdot (m_1, \dots, m_n) = (r \cdot m_1, \dots, r \cdot m_n)\)，其中 \(r \in R\)。

关键性质：这个直和模包含了每个 \(M_i\) 的一个“副本”。具体来说，对于每个 \(j\)，映射 \(\iota_j: M_j \to \bigoplus_i M_i\)，定义为 \(\iota_j(m_j) = (0, \dots, 0, m_j, 0, \dots, 0)\)（只有第 \(j\) 个分量非零），是一个单同态。我们可以通过这个映射将 \(M_j\) 等同于它在直和中的像。更重要的是，直和中的每一个元素 \((m_1, \dots, m_n)\) 都可以被唯一地写成这些“嵌入”元素的“和”：\((m_1, \dots, m_n) = \iota_1(m_1) + \iota_2(m_2) + \dots + \iota_n(m_n)\)。这就是“和”的由来。

第二步：区分“内部直和”与“外部直和”

上面的构造是“外部”的，因为我们是从一堆原本可能无关的模出发，构建了一个新的模。与之相对的是“内部直和”的概念。

假设我们有一个模 \(M\)，并且它有一些子模 \(N_1, N_2, \dots, N_k\)。
我们说 \(M\) 是子模 \(N_1, N_2, \dots, N_k\) 的内部直和，如果满足以下两个条件：

\(M = N_1 + N_2 + \dots + N_k\)（即，\(M\) 中每一个元素 \(m\) 都可以写成 \(m = n_1 + n_2 + \dots + n_k\)，其中 \(n_i \in N_i\)）。
这个表示法是唯一的。也就是说，如果还有 \(m = n'_1 + n'_2 + \dots + n‘_k\)，那么对所有的 \(i\)，都有 \(n_i = n'_i\)。

可以证明，表示法的唯一性等价于要求：对于每一个 \(j\)，有 \(N_j \cap (N_1 + \dots + N_{j-1} + N_{j+1} + \dots + N_k) = \{0\}\)。也就是说，每个子模与由其他所有子模生成的子模的交集是平凡的。

外部与内部的联系：如果我们从外部直和 \(\bigoplus_{i=1}^n M_i\) 出发，那么将它内部的子模 \(\iota_i(M_i)\) 视为 \(M_i\) 本身，则这个外部直和就是这些子模的内部直和。反之，如果一个模 \(M\) 是其子模 \(N_i\) 的内部直和，那么 \(M\) 同构于这些 \(N_i\) 的外部直和。因此，在模同构的意义上，内部直和与外部直和是等价的，我们通常不加区分，统称为直和。

第三步：推广到无限个模的情况——直和与直积的分离

当我们要处理无限多个模的族 \(\{M_i\}_{i \in I}\)（其中 \(I\) 是一个指标集，可能无限）时，情况变得有趣起来。这时，直和与直积成了两个不同的概念。

直积

构造：直积，记作 \(\prod_{i \in I} M_i\)，是所有“函数” \(f: I \to \bigcup_{i \in I} M_i\) 的集合，且满足对于每个 \(i \in I\)，有 \(f(i) \in M_i\)。你可以把它想象成所有可能的、长度无限的序列 \((m_i)_{i \in I}\)，其中第 \(i\) 个位置上的元素来自 \(M_i\)。
- 运算：加法和标量乘法同样是按分量定义的。

直和

构造：直和，记作 \(\bigoplus_{i \in I} M_i\)，是直积的一个子模。它由那些满足 \(f(i) \neq 0\) 的指标 \(i\) 只有有限个的“函数” \(f\) 组成。换句话说，直和中的元素是那些几乎所有分量都是零的无限序列。

核心区别：

在直积中，对每个分量没有任何限制。一个元素可以在无限多个分量上取非零值。
在直和中，要求只有有限个分量可以非零。这是为了确保当我们谈论“和”的时候（比如将元素写为嵌入元素的有限和），这个和是有限的、有定义的。

当指标集 \(I\) 是有限集时，直和与直积是完全相同的，因为“只有有限个分量非零”这个条件自动满足。这就是为什么在第一步中我们没有区分它们。

第四步：直和与直积的泛性质

这两个概念都可以用泛性质来刻画，这揭示了它们最本质的特征。

直和的泛性质（余积）：直和 \(\bigoplus_{i \in I} M_i\) 配备了一族同态 \(\iota_j: M_j \to \bigoplus_{i \in I} M_i\)（嵌入映射）。它具有以下性质：对于任意一个 \(R\)-模 \(N\) 和任意一族同态 \(f_j: M_j \to N\)，存在唯一的一个同态 \(f: \bigoplus_{i \in I} M_i \to N\)，使得对每个 \(j \in I\)，都有 \(f \circ \iota_j = f_j\)。也就是说，我们可以“线性地”将定义在每个分量 \(M_j\) 上的映射 \(f_j\) “拼凑”成一个定义在整个直和上的映射 \(f\)。这个性质称为万有映射性质，直和在范畴论中被称为余积。
直积的泛性质（积）：直积 \(\prod_{i \in I} M_i\) 配备了一族同态 \(\pi_j: \prod_{i \in I} M_i \to M_j\)（投影映射）。它具有以下性质：对于任意一个 \(R\)-模 \(N\) 和任意一族同态 \(f_j: N \to M_j\)，存在唯一的一个同态 \(f: N \to \prod_{i \in I} M_i\)，使得对每个 \(j \in I\)，都有 \(\pi_j \circ f = f_j\)。也就是说，我们可以“线性地”将一个映射 \(f\) 分解为到各个分量上的映射。直积在范畴论中被称为积。

总结：
模的直和与直积是构造新模的强大工具。直和强调“有限性”和“分解”，允许我们将整体映射“分解”到分量上定义（余积性质）。直积则更为“宽松”，允许我们通过“投影”来研究模（积性质）。在有限情况下两者一致，但在无限情况下，它们因对分量非零个数的限制不同而成为不同的对象，并分别由独特的泛性质所刻画。

模的直和与直积我们来探讨模论中两个核心的构造方法：直和与直积。它们允许我们将较小的、结构更简单的模组合成更大的模，或者将复杂的模分解为更易处理的部分。第一步：从有限个模的直和开始设想你有一个域 \( K \) 上的向量空间 \( V \)。你已经知道，如果找到了它的一组基，那么 \( V \) 中的每一个向量都可以唯一地表示为这些基向量的线性组合。这等价于说，向量空间 \( V \) 是这些一维子空间（每个由一個基向量生成）的“直和”。现在，我们将这个概念推广到更一般的模（比如环 \( R \) 上的模）上。假设我们有有限个 \( R \)-模 \( M_ 1, M_ 2, \dots, M_ n \)。它们的** （外部）直和** ，记作 \( M_ 1 \oplus M_ 2 \oplus \dots \oplus M_ n \)，定义如下：构造：这个直和模是所有有序 \( n \)-元组 \( (m_ 1, m_ 2, \dots, m_ n) \) 构成的集合，其中每个 \( m_ i \) 属于对应的 \( M_ i \)。运算：模的加法和标量乘法是按分量定义的： \( (m_ 1, \dots, m_ n) + (m'_ 1, \dots, m'_ n) = (m_ 1 + m'_ 1, \dots, m_ n + m'_ n) \) \( r \cdot (m_ 1, \dots, m_ n) = (r \cdot m_ 1, \dots, r \cdot m_ n) \)，其中 \( r \in R \)。关键性质：这个直和模包含了每个 \( M_ i \) 的一个“副本”。具体来说，对于每个 \( j \)，映射 \( \iota_ j: M_ j \to \bigoplus_ i M_ i \)，定义为 \( \iota_ j(m_ j) = (0, \dots, 0, m_ j, 0, \dots, 0) \)（只有第 \( j \) 个分量非零），是一个单同态。我们可以通过这个映射将 \( M_ j \) 等同于它在直和中的像。更重要的是，直和中的每一个元素 \( (m_ 1, \dots, m_ n) \) 都可以被唯一地写成这些“嵌入”元素的“和”：\( (m_ 1, \dots, m_ n) = \iota_ 1(m_ 1) + \iota_ 2(m_ 2) + \dots + \iota_ n(m_ n) \)。这就是“和”的由来。第二步：区分“内部直和”与“外部直和” 上面的构造是“外部”的，因为我们是从一堆原本可能无关的模出发，构建了一个新的模。与之相对的是“内部直和”的概念。假设我们有一个模 \( M \)，并且它有一些子模 \( N_ 1, N_ 2, \dots, N_ k \)。我们说 \( M \) 是子模 \( N_ 1, N_ 2, \dots, N_ k \) 的内部直和，如果满足以下两个条件： \( M = N_ 1 + N_ 2 + \dots + N_ k \)（即，\( M \) 中每一个元素 \( m \) 都可以写成 \( m = n_ 1 + n_ 2 + \dots + n_ k \)，其中 \( n_ i \in N_ i \)）。这个表示法是唯一的。也就是说，如果还有 \( m = n'_ 1 + n'_ 2 + \dots + n‘_ k \)，那么对所有的 \( i \)，都有 \( n_ i = n'_ i \)。可以证明，表示法的唯一性等价于要求：对于每一个 \( j \)，有 \( N_ j \cap (N_ 1 + \dots + N_ {j-1} + N_ {j+1} + \dots + N_ k) = \{0\} \)。也就是说，每个子模与由其他所有子模生成的子模的交集是平凡的。外部与内部的联系：如果我们从外部直和 \( \bigoplus_ {i=1}^n M_ i \) 出发，那么将它内部的子模 \( \iota_ i(M_ i) \) 视为 \( M_ i \) 本身，则这个外部直和就是这些子模的内部直和。反之，如果一个模 \( M \) 是其子模 \( N_ i \) 的内部直和，那么 \( M \) 同构于这些 \( N_ i \) 的外部直和。因此，在模同构的意义上，内部直和与外部直和是等价的，我们通常不加区分，统称为直和。第三步：推广到无限个模的情况——直和与直积的分离当我们要处理无限多个模的族 \( \{M_ i\}_ {i \in I} \)（其中 \( I \) 是一个指标集，可能无限）时，情况变得有趣起来。这时，直和与直积成了两个不同的概念。直积构造：直积，记作 \( \prod_ {i \in I} M_ i \)，是所有“函数” \( f: I \to \bigcup_ {i \in I} M_ i \) 的集合，且满足对于每个 \( i \in I \)，有 \( f(i) \in M_ i \)。你可以把它想象成所有可能的、长度无限的序列 \( (m_ i)_ {i \in I} \)，其中第 \( i \) 个位置上的元素来自 \( M_ i \)。运算：加法和标量乘法同样是按分量定义的。直和构造：直和，记作 \( \bigoplus_ {i \in I} M_ i \)，是直积的一个子模。它由那些满足 \( f(i) \neq 0 \) 的指标 \( i \) 只有有限个的“函数” \( f \) 组成。换句话说，直和中的元素是那些几乎所有分量都是零的无限序列。核心区别：在直积中，对每个分量没有任何限制。一个元素可以在无限多个分量上取非零值。在直和中，要求只有有限个分量可以非零。这是为了确保当我们谈论“和”的时候（比如将元素写为嵌入元素的有限和），这个和是有限的、有定义的。当指标集 \( I \) 是有限集时，直和与直积是完全相同的，因为“只有有限个分量非零”这个条件自动满足。这就是为什么在第一步中我们没有区分它们。第四步：直和与直积的泛性质这两个概念都可以用泛性质来刻画，这揭示了它们最本质的特征。直和的泛性质（余积）：直和 \( \bigoplus_ {i \in I} M_ i \) 配备了一族同态 \( \iota_ j: M_ j \to \bigoplus_ {i \in I} M_ i \)（嵌入映射）。它具有以下性质：对于任意一个 \( R \)-模 \( N \) 和任意一族同态 \( f_ j: M_ j \to N \)，存在唯一的一个同态 \( f: \bigoplus_ {i \in I} M_ i \to N \)，使得对每个 \( j \in I \)，都有 \( f \circ \iota_ j = f_ j \)。也就是说，我们可以“线性地”将定义在每个分量 \( M_ j \) 上的映射 \( f_ j \) “拼凑”成一个定义在整个直和上的映射 \( f \)。这个性质称为万有映射性质，直和在范畴论中被称为余积。直积的泛性质（积）：直积 \( \prod_ {i \in I} M_ i \) 配备了一族同态 \( \pi_ j: \prod_ {i \in I} M_ i \to M_ j \)（投影映射）。它具有以下性质：对于任意一个 \( R \)-模 \( N \) 和任意一族同态 \( f_ j: N \to M_ j \)，存在唯一的一个同态 \( f: N \to \prod_ {i \in I} M_ i \)，使得对每个 \( j \in I \)，都有 \( \pi_ j \circ f = f_ j \)。也就是说，我们可以“线性地”将一个映射 \( f \) 分解为到各个分量上的映射。直积在范畴论中被称为积。总结：模的直和与直积是构造新模的强大工具。直和强调“有限性”和“分解”，允许我们将整体映射“分解”到分量上定义（余积性质）。直积则更为“宽松”，允许我们通过“投影”来研究模（积性质）。在有限情况下两者一致，但在无限情况下，它们因对分量非零个数的限制不同而成为不同的对象，并分别由独特的泛性质所刻画。