图的遍历算法

字数 2551 2025-10-29 11:32:31

图的遍历算法

好的，我们开始学习“图的遍历算法”。图的遍历是指按照某种规则，系统地访问图中的每一个顶点，并且每个顶点只被访问一次的过程。这是图论中最基础、最重要的算法类别之一，是解决许多图论问题的前提。

第一步：理解遍历的必要性与核心思想

想象一下，你进入了一个巨大的、房间之间由走廊连接的网络迷宫（图），你的任务是走遍每一个房间（顶点），但又不希望重复进入同一个房间。你需要一个系统性的策略来完成这个任务。这就是遍历算法要解决的问题。

遍历的核心思想是：

避免重复：确保每个顶点只被访问一次。
避免遗漏：确保所有顶点都被访问到。
记录状态：需要记录哪些顶点已经被访问过（通常使用一个名为 visited 的数组或集合来实现）。

根据访问顶点的“策略”不同，主要分为两种经典的遍历算法：广度优先搜索和深度优先搜索。虽然它们是基础，但我们将深入探讨其实现细节、性质和应用。

第二步：广度优先搜索

广度优先搜索的策略是“由近及远”，类似于水波扩散或社交网络中好友层次的探索。

1. 算法过程详解：

初始化：从一个选定的起始顶点 s 开始。将 s 标记为“已访问”，并将其放入一个队列中。队列是一种“先进先出”的数据结构。
循环过程：只要队列不为空，就重复以下步骤：
1. 出队：从队列的头部取出一个顶点，我们称它为当前顶点 u。
2. 访问：正式地“访问”这个顶点 u（例如，打印其值或进行其他计算）。
3. 探索邻域：检查 u 的所有未被访问过的邻接顶点。对于每一个这样的邻接顶点 v：
  - 将 v 标记为“已访问”。
  - 将 v 入队（放入队列的尾部）。

2. 关键性质与示例：

生成树：BFS 遍历过程中经过的边会构成一棵以起始顶点为根的树，称为 BFS 生成树。
最短路径：在无权图中，BFS 能天然地找出从起始顶点 s 到所有其他可达顶点的最短路径（即边数最少的路径）。在 BFS 生成树中，从根 s 到任意顶点 v 的路径就是最短路径。
层级关系：顶点是按照距离起始顶点的边数（层级）由小到大依次被访问的。

假设有一个简单的图：A-B-C，A-D。从A开始BFS：

访问A，队列：[A]。
出队A，访问A的未访邻居B和D。标记并入队B、D。队列变为：[B, D]。
出队B，访问B。B的未访邻居是C。标记并入队C。队列变为：[D, C]。
出队D，访问D。D没有未访邻居。队列变为：[C]。
出队C，访问C。C没有未访邻居。队列空，结束。
访问顺序：A, B, D, C。

第三步：深度优先搜索

深度优先搜索的策略是“一路走到黑，再回头”，类似于走迷宫时沿着一条路一直走下去，直到死胡同再返回上一个岔路口。

1. 算法过程详解（递归版本，最直观）：

初始化：从一个起始顶点 s 开始。
递归函数 DFS(u)：
1. 将顶点 u 标记为“已访问”。
2. 访问顶点 u。
3. 遍历 u 的所有邻接顶点 v：
  - 如果 v 未被访问过，则递归地调用 DFS(v)。

2. 算法过程详解（迭代版本，使用栈）：

初始化：从起始顶点 s 开始。将 s 标记为“已访问”，并将其压入一个栈。栈是一种“后进先出”的数据结构。
循环过程：只要栈不为空，就重复以下步骤：
1. 弹栈：从栈顶弹出一个顶点，作为当前顶点 u。
2. 访问：访问顶点 u。
3. 探索邻域：检查 u 的所有未被访问过的邻接顶点。对于每一个这样的邻接顶点 v：
  - 将 v 标记为“已访问”。
  - 将 v 压栈。

3. 关键性质与示例：

生成森林：DFS 遍历过程中经过的边会构成一棵树（如果图连通）或一个森林（多棵不相交的树），称为 DFS 生成森林。
时间戳：可以记录每个顶点被第一次访问（发现）的时间和完成对其所有邻居探索的时间。这对分析图的结构（如判断环、拓扑排序）非常有用。
分类边：在 DFS 生成森林中，边可以被分类为：
- 树边：遍历时经过的边，是生成森林的一部分。
- 回边：指向祖先顶点的边（可用于检测环）。
- 前向边：指向后代顶点的非树边。
- 交叉边：连接不同 DFS 树或同一棵树中无直系祖先关系的顶点的边（在无向图的DFS中不会出现交叉边）。

同样以图 A-B-C，A-D 为例，从A开始DFS（递归）：

访问A，递归进入A的第一个邻居B。
访问B，递归进入B的邻居C。
访问C，C无未访邻居，递归返回到B。
B无其他未访邻居，递归返回到A。
A的下一个未访邻居是D，递归进入D。
访问D，D无未访邻居，递归返回到A。结束。
访问顺序：A, B, C, D。

第四步：对比与应用场景

特性	广度优先搜索	深度优先搜索
数据结构	队列	栈（递归调用栈或显式栈）
遍历顺序	按距离起始点的层级	沿分支深入到底再回溯
空间复杂度	最坏情况 O(	V
经典应用	无权图的最短路径、社交网络中的“度”分离、网络广播	检测环、拓扑排序、寻找连通分量、路径查找（不保证最短）

第五步：进阶概念与变体

掌握了基本的BFS和DFS后，可以理解一些重要的变体和扩展：

连通分量：对于无向图，从一个未访问顶点开始执行一次BFS或DFS，所能访问到的所有顶点集合构成一个连通分量。重复此过程直到所有顶点被访问，即可找出图的所有连通分量。
双向BFS：当需要寻找两个特定顶点之间的最短路径时，可以同时从起点和终点开始BFS。当两个搜索的“波前”相遇时，路径即被找到。这在搜索空间巨大时能显著减少探索的顶点数量。
迭代深化DFS：结合了BFS和DFS的优点。它通过逐步增加深度限制来反复运行DFS，既具备了DFS的空间效率，又能像BFS一样按层搜索，常用于人工智能的搜索问题。

图的遍历算法是图论的基石，几乎所有复杂的图算法都在其基础上构建。理解它们的细微差别和适用场景至关重要。

图的遍历算法好的，我们开始学习“图的遍历算法”。图的遍历是指按照某种规则，系统地访问图中的每一个顶点，并且每个顶点只被访问一次的过程。这是图论中最基础、最重要的算法类别之一，是解决许多图论问题的前提。第一步：理解遍历的必要性与核心思想想象一下，你进入了一个巨大的、房间之间由走廊连接的网络迷宫（图），你的任务是走遍每一个房间（顶点），但又不希望重复进入同一个房间。你需要一个系统性的策略来完成这个任务。这就是遍历算法要解决的问题。遍历的核心思想是：避免重复：确保每个顶点只被访问一次。避免遗漏：确保所有顶点都被访问到。记录状态：需要记录哪些顶点已经被访问过（通常使用一个名为 visited 的数组或集合来实现）。根据访问顶点的“策略”不同，主要分为两种经典的遍历算法：广度优先搜索和深度优先搜索。虽然它们是基础，但我们将深入探讨其实现细节、性质和应用。第二步：广度优先搜索广度优先搜索的策略是“由近及远”，类似于水波扩散或社交网络中好友层次的探索。 1. 算法过程详解：初始化：从一个选定的起始顶点 s 开始。将 s 标记为“已访问”，并将其放入一个队列中。队列是一种“先进先出”的数据结构。循环过程：只要队列不为空，就重复以下步骤：出队：从队列的头部取出一个顶点，我们称它为当前顶点 u 。访问：正式地“访问”这个顶点 u （例如，打印其值或进行其他计算）。探索邻域：检查 u 的所有未被访问过的邻接顶点。对于每一个这样的邻接顶点 v ：将 v 标记为“已访问”。将 v 入队（放入队列的尾部）。 2. 关键性质与示例：生成树：BFS 遍历过程中经过的边会构成一棵以起始顶点为根的树，称为 BFS 生成树。最短路径：在无权图中，BFS 能天然地找出从起始顶点 s 到所有其他可达顶点的最短路径（即边数最少的路径）。在 BFS 生成树中，从根 s 到任意顶点 v 的路径就是最短路径。层级关系：顶点是按照距离起始顶点的边数（层级）由小到大依次被访问的。假设有一个简单的图：A-B-C，A-D。从A开始BFS：访问A，队列：[ A ]。出队A，访问A的未访邻居B和D。标记并入队B、D。队列变为：[ B, D ]。出队B，访问B。B的未访邻居是C。标记并入队C。队列变为：[ D, C ]。出队D，访问D。D没有未访邻居。队列变为：[ C ]。出队C，访问C。C没有未访邻居。队列空，结束。访问顺序：A, B, D, C。第三步：深度优先搜索深度优先搜索的策略是“一路走到黑，再回头”，类似于走迷宫时沿着一条路一直走下去，直到死胡同再返回上一个岔路口。 1. 算法过程详解（递归版本，最直观）：初始化：从一个起始顶点 s 开始。递归函数 DFS(u) ：将顶点 u 标记为“已访问”。访问顶点 u 。遍历 u 的所有邻接顶点 v ：如果 v 未被访问过，则递归地调用 DFS(v) 。 2. 算法过程详解（迭代版本，使用栈）：初始化：从起始顶点 s 开始。将 s 标记为“已访问”，并将其压入一个栈。栈是一种“后进先出”的数据结构。循环过程：只要栈不为空，就重复以下步骤：弹栈：从栈顶弹出一个顶点，作为当前顶点 u 。访问：访问顶点 u 。探索邻域：检查 u 的所有未被访问过的邻接顶点。对于每一个这样的邻接顶点 v ：将 v 标记为“已访问”。将 v 压栈。 3. 关键性质与示例：生成森林：DFS 遍历过程中经过的边会构成一棵树（如果图连通）或一个森林（多棵不相交的树），称为 DFS 生成森林。时间戳：可以记录每个顶点被第一次访问（发现）的时间和完成对其所有邻居探索的时间。这对分析图的结构（如判断环、拓扑排序）非常有用。分类边：在 DFS 生成森林中，边可以被分类为：树边：遍历时经过的边，是生成森林的一部分。回边：指向祖先顶点的边（可用于检测环）。前向边：指向后代顶点的非树边。交叉边：连接不同 DFS 树或同一棵树中无直系祖先关系的顶点的边（在无向图的DFS中不会出现交叉边）。同样以图 A-B-C，A-D 为例，从A开始DFS（递归）：访问A，递归进入A的第一个邻居B。访问B，递归进入B的邻居C。访问C，C无未访邻居，递归返回到B。 B无其他未访邻居，递归返回到A。 A的下一个未访邻居是D，递归进入D。访问D，D无未访邻居，递归返回到A。结束。访问顺序：A, B, C, D。第四步：对比与应用场景 | 特性 | 广度优先搜索 | 深度优先搜索 | | :--- | :--- | :--- | | 数据结构 | 队列 | 栈（递归调用栈或显式栈） | | 遍历顺序 | 按距离起始点的层级 | 沿分支深入到底再回溯 | | 空间复杂度 | 最坏情况 O(|V|) | 最坏情况 O(|V|)（由递归深度决定） | | 经典应用 | 无权图的最短路径、社交网络中的“度”分离、网络广播 | 检测环、拓扑排序、寻找连通分量、路径查找（不保证最短） | 第五步：进阶概念与变体掌握了基本的BFS和DFS后，可以理解一些重要的变体和扩展：连通分量：对于无向图，从一个未访问顶点开始执行一次BFS或DFS，所能访问到的所有顶点集合构成一个连通分量。重复此过程直到所有顶点被访问，即可找出图的所有连通分量。双向BFS ：当需要寻找两个特定顶点之间的最短路径时，可以同时从起点和终点开始BFS。当两个搜索的“波前”相遇时，路径即被找到。这在搜索空间巨大时能显著减少探索的顶点数量。迭代深化DFS ：结合了BFS和DFS的优点。它通过逐步增加深度限制来反复运行DFS，既具备了DFS的空间效率，又能像BFS一样按层搜索，常用于人工智能的搜索问题。图的遍历算法是图论的基石，几乎所有复杂的图算法都在其基础上构建。理解它们的细微差别和适用场景至关重要。