马尔可夫移位 基本定义 马尔可夫移位是遍历理论中一类重要的符号动力系统，它由马尔可夫链的概率结构诱导而来。设 \( S \) 是一个有限状态集合（称为字母表），\( P = (p_ {ij}) \) 是一个 \( S \times S \) 的随机矩阵（即 \( p_ {ij} \geq 0 \) 且每行和为 1），并假设存在一个平稳概率分布 \( \pi = (\pi_ i) \) 满足 \( \pi P = \pi \)。系统的相空间为所有双向无穷序列 \( x = (\dots, x_ {-1}, x_ 0, x_ 1, \dots) \in S^{\mathbb{Z}} \) 的子集 \( X_ P \)，其中仅允许那些满足 \( p_ {x_ n, x_ {n+1}} > 0 \) 对所有 \( n \in \mathbb{Z} \) 成立的序列。动力映射是移位变换 \( \sigma: X_ P \to X_ P \)，定义为 \( (\sigma x) n = x {n+1} \)。系统配备的概率测度 \( \mu \) 是满足 \( \mu([ i_ 0, \dots, i_ k]) = \pi_ {i_ 0} p_ {i_ 0 i_ 1} \cdots p_ {i_ {k-1} i_ k} \) 的伯努利测度的推广，其中 \( [ i_ 0, \dots, i_ k] \) 表示坐标取特定值的柱集。这样，\( (X_ P, \sigma, \mu) \) 构成了一个保测动力系统。 拓扑与测度性质 马尔可夫移位可分为拓扑和测度两类。若 \( P \) 是不可约的（即所有状态互通），则系统是拓扑传递的；若 \( P \) 还是非周期的，则系统是拓扑混合的。在测度方面，若 \( P \) 不可约且 \( \pi \) 为正，则 \( \mu \) 是遍历的；若进一步满足 \( p_ {ij} > 0 \) 对所有 \( i,j \)（即双随机性），则系统具有强混合性。例如，当 \( P \) 的所有元素均为正时，系统是指数混合的。 与马尔可夫链的关联 马尔可夫移位本质上是平稳马尔可夫链的路径空间实现。移位变换 \( \sigma \) 对应链的时间平移，而柱集的测度 \( \mu \) 反映了链的转移概率。遍历性等价于链的不可约性，混合性则对应链的非周期性。这一关联使得概率论中的马尔可夫链工具（如常返性、暂态性）可用于分析动力系统的结构性态。 熵与同构理论 马尔可夫移位的熵由 \( h_ \mu(\sigma) = -\sum_ {i,j} \pi_ i p_ {ij} \log p_ {ij} \) 给出，反映了系统的混沌程度。在奥恩斯坦同构定理的框架下，具有相同熵的伯努利移位是同构的，但马尔可夫移位提供了更丰富的动力模型，其同构分类需考虑更精细的谱或代数不变量。 应用与推广 马尔可夫移位是研究混沌系统统计性质的理想模型，如在热力学形式主义中描述相变。推广包括子移位（限制转移规则）、可数状态马尔可夫移位（涉及非紧性挑战）及非平稳马尔可夫过程对应的非不变测度系统。