格林函数
格林函数是求解线性微分方程定解问题的重要工具。它本质上描述了系统对一个点源的响应。让我们从最基本的物理和数学概念开始，逐步构建对格林函数的完整理解。
第一步：物理直观——点源响应
想象一个简单的物理场景：一个静止的平整桌面，在其上某一点放置一个重物。这个重物会使桌面产生一个局部的形变。格林函数回答的就是这样一个问题：如果在位置 \(\mathbf{r}'\) 施加一个单位强度的点源（如点电荷、点质量、点热源），那么在空间任意其他位置 \(\mathbf{r}\) 观测到的响应（如电势、引力势、温度）是多少？ 这个响应函数就是格林函数，通常记为 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\)。
格林函数的核心思想是线性叠加原理。如果一个系统是线性的，那么它对复杂分布源的总响应，可以看作是系统对所有组成这个复杂分布的“点源”的响应的简单叠加（积分）。
第二步：从一般问题到格林函数的引入
考虑一个一般的线性偏微分方程：
\[\mathcal{L} u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) \]
其中：
- \(\mathcal{L}\) 是一个线性微分算子（例如拉普拉斯算子 \(-\nabla^2\)，亥姆霍兹算子 \(\nabla^2 + k^2\)，或者热传导算子 \(\frac{\partial}{\partial t} - D\nabla^2\)）。
- \(u(\mathbf{r})\) 是我们要求的未知函数（如电势、温度分布）。
- \(f(\mathbf{r})\) 是已知的源项（如电荷密度、热源密度）。
我们的目标是求解 \(u(\mathbf{r})\)。格林函数方法是为此方程定义一个相关的、更简单的方程：
\[\mathcal{L} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’) \]
这个方程称为格林函数所满足的方程。这里：
- \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) 是狄拉克δ函数，它代表了在 \(\mathbf{r}’\) 处的一个单位强度的点源。
- \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\) 就是对应于算子 \(\mathcal{L}\) 和所给边界条件的格林函数。
第三步：利用格林函数构造解
一旦我们找到了格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\)，原方程的解 \(u(\mathbf{r})\) 就可以通过积分直接构造出来。其原理基于δ函数的筛选性质和线性叠加原理。
- 将任意源 \(f(\mathbf{r})\) 看作是许多点源的叠加：
\[ f(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}’) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ \]
这个积分表示在每一个点 \(\mathbf{r}’\) 都有一个强度为 \(f(\mathbf{r}’)\) 的点源。
-
由于算子是线性的，系统对总源 \(f(\mathbf{r})\) 的响应，应该是系统对所有点源 \(f(\mathbf{r}’)\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) 的响应的叠加。而系统对一个位于 \(\mathbf{r}’\) 的单位点源 \(\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’)\) 的响应正是 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\)。因此，对于强度为 \(f(\mathbf{r}’)\) 的点源，其响应是 \(f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\)。
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将所有点源的响应叠加（积分），就得到了总响应 \(u(\mathbf{r})\)：
\[ u(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}’) G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ \]
我们可以验证这个形式的正确性：将 \(u(\mathbf{r})\) 代入原方程 \(\mathcal{L} u(\mathbf{r})\)，利用 \(\mathcal{L}\) 是作用于变量 \(\mathbf{r}\) 的算子，可以移到积分号内，并利用格林函数的定义 \(\mathcal{L} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}‘)\)，最终得到：
\[ \mathcal{L} u(\mathbf{r}) = \int f(\mathbf{r}’) \mathcal{L} G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ = \int f(\mathbf{r}’) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}’) d\mathbf{r}’ = f(\mathbf{r}) \]
验证通过。
第四步：边界条件的处理
上面的讨论隐含了一个关键点：格林函数 \(G(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)\) 本身也必须满足特定的边界条件。原问题 \(\mathcal{L} u = f\) 的定解需要边界条件（如狄利克雷边界条件 \(u|_{\text{边界}} = 0\) 或诺伊曼边界条件 \(\partial u/\partial n|_{\text{边界}} = 0\)）。为了确保我们构造出的解 \(u(\mathbf{r})\) 也满足这些边界条件，我们要求格林函数满足齐次的同类边界条件。
- 对于狄利克雷问题：要求 \(G_D(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘)|_{\mathbf{r} \in \text{边界}} = 0\)。
- 对于诺伊曼问题：要求 \(\frac{\partial G_N}{\partial n}(\mathbf{r}, \mathbf{r}’)|_{\mathbf{r} \in \text{边界}} = 0\)（注意，对于诺伊曼问题，解的存在性要求对源函数有积分约束，格林函数也需相应调整）。
第五步：一个经典例子——泊松方程的格林函数
考虑自由空间的泊松方程：
\[-\nabla^2 u(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) \]
其对应的格林函数方程（满足自由空间辐射条件）为：
\[-\nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}‘) \]
由于自由空间的平移和旋转对称性，格林函数只依赖于观测点与源点之间的距离 \(R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\)，即 \(G = G(R)\)。通过求解这个方程（例如，在球坐标系下利用δ函数的性质），可以得到三维自由空间的格林函数为：
\[G(\mathbf{r}, \mathbf{r}’) = \frac{1}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \]
这正是我们所熟悉的点电荷电势公式（库仑定律）。于是，任意电荷分布 \(f(\mathbf{r})\) 产生的电势为：
\[u(\mathbf{r}) = \int \frac{f(\mathbf{r}’)}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d\mathbf{r}’ \]
这个例子完美地体现了格林函数的物理意义：它将一个复杂的微分方程求解问题，转化为了一个（可能仍然复杂但概念上更清晰的）积分问题。求解一个特定问题的难度，就从求解原微分方程转移到了寻找满足特定边界条件的格林函数上。