保测动力系统 保测动力系统是遍历理论的基本研究对象，它由一个概率空间和一个保持该空间测度的变换构成。具体来说，设 \( (X, \mathcal{B}, \mu) \) 是一个概率空间，即 \( \mu(X) = 1 \)。一个可测变换 \( T: X \to X \) 称为 保测的 ，如果对于所有可测集 \( A \in \mathcal{B} \)，都有 \( \mu(T^{-1}(A)) = \mu(A) \)。此时，四元组 \( (X, \mathcal{B}, \mu, T) \) 就构成了一个保测动力系统。 保测性意味着变换 \( T \) 在相空间 \( X \) 上的作用不会改变任何区域的“体积”（即测度）。这是许多物理系统（如哈密顿系统在能量曲面上的流）和随机过程（如马尔可夫链的平稳分布）的自然抽象。系统的长期行为，例如遍历定理所描述的轨道平均收敛于空间平均，正是在保测的假设下成立的。因此，保测动力系统是研究统计行为（如均值、方差）随时间演化的理想框架。