模形式与椭圆曲线 椭圆曲线的定义 椭圆曲线是形如 \( y^2 = x^3 + ax + b \) 的三次多项式方程定义的代数曲线，需满足判别式 \( \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 \)（确保曲线无奇点）。在数论中，我们常考虑其有理点或模 \( p \) 下的解。 椭圆曲线的有理点群结构 椭圆曲线上的点（包括无穷远点 \( \mathcal{O} \)）可构成阿贝尔群： 群运算：通过弦切法定义点的加法，例如 \( P+Q \) 为连接 \( P,Q \) 的直线与曲线的第三个交点关于 \( x \) 轴的对称点。 莫德尔定理：椭圆曲线有理点构成的群是有限生成阿贝尔群，即 \( E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus E_ {\text{tors}} \)，其中 \( r \) 为秩，\( E_ {\text{tors}} \) 是挠子群。 哈塞-韦伊 L 函数 对素数 \( p \)，定义椭圆曲线模 \( p \) 的解数 \( N_ p = p + 1 - a_ p \)，其中 \( a_ p \) 满足 \( |a_ p| \leq 2\sqrt{p} \)。哈塞-韦伊 L 函数为： \[ L(E, s) = \prod_ {p \mid \Delta} \frac{1}{1 - a_ p p^{-s}} \prod_ {p \nmid \Delta} \frac{1}{1 - a_ p p^{-s} + p^{1-2s}} \] 该函数在 \( s=1 \) 处的行为与 BSD 猜想相关。 模形式与椭圆曲线的关联（模性定理） 由怀尔斯证明的谷山-志村猜想（现称模性定理）指出：任何有理数域上的椭圆曲线均对应一个权为 2 的模形式 \( f \)，使得 \( L(E, s) = L(f, s) \)。具体地，模形式的傅里叶系数 \( a_ n \) 与椭圆曲线的 \( a_ p \) 一致。 BSD 猜想与数论应用 伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想（BSD 猜想）断言：\( L(E, s) \) 在 \( s=1 \) 处的泰勒展开阶数等于椭圆曲线的秩 \( r \)，且主导系数涉及挠子群、肖-塔特群等不变量。这一猜想将解析对象与代数结构深刻联系，是千禧年难题之一。