凸优化 基本概念 凸优化是数学规划的一个分支，研究目标函数为凸函数、约束集为凸集的优化问题。其核心特性是：局部最优解即全局最优解，这一性质使得问题在理论和计算上更易处理。 凸集 ：集合中任意两点的连线仍包含于该集合（例如：直线、球体、多面体）。 凸函数 ：函数图像上任意两点的连线位于图像上方，即满足 \( f(\theta x + (1-\theta)y) \leq \theta f(x) + (1-\theta)f(y) \)（\( \theta \in [ 0,1 ] \)）。 问题形式 标准凸优化问题可表示为： \[ \min_ {x} f(x) \quad \text{s.t.} \quad g_ i(x) \leq 0, \ h_ j(x) = 0, \] 其中 \( f(x) \) 和 \( g_ i(x) \) 为凸函数，\( h_ j(x) \) 为仿射函数（线性函数加常数），约束条件构成的可行域是凸集。 重要性 凸优化提供了系统的最优性理论（如KKT条件）和高效算法（如内点法、梯度下降法）。许多非凸问题可通过凸松弛转化为近似凸问题，广泛应用于机器学习、信号处理、金融等领域。 典型例子 线性规划 ：目标函数与约束均为线性，是凸优化的特例。 二次规划 ：若目标函数为凸二次函数，约束为线性，也属于凸优化。 半定规划 ：涉及半正定矩阵约束，是凸优化的高级形式。 与非凸优化的区别 非凸优化可能存在多个局部最优解，求解难度大；而凸优化的全局最优解可通过梯度信息或凸性理论直接定位，算法收敛性有保障。