量子力学中的Krein空间 基本定义与背景 Krein空间是希尔伯特空间的推广，由一个内积空间 \(( \mathcal{K}, \langle \cdot, \cdot \rangle )\) 构成，其内积不必正定，但满足以下结构： \(\mathcal{K}\) 可分解为两个正交子空间的直和：\(\mathcal{K} = \mathcal{K} + \oplus \mathcal{K} -\)，其中 \(\mathcal{K} +\) 在 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 下是希尔伯特空间（正定），\(\mathcal{K} -\) 是负定空间（即 \(\langle \psi, \psi \rangle \leq 0\)）。 内积的 不定度量 由算符 \(J = P_ + - P_ -\) 定义，其中 \(P_ \pm\) 是到 \(\mathcal{K}_ \pm\) 的投影。此时，正定内积可定义为 \((\phi, \psi) := \langle J\phi, \psi \rangle\)。 这种结构在量子力学中用于描述具有不定度规的系统，如规范场论或PT对称系统。 关键数学性质 完备性 ：Krein空间需关于由 \((\cdot, \cdot)\) 诱导的范数完备，但原始内积 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 可能诱导非正定“范数”。 子空间分类 ：子空间可分为正定、负定、退化或中性（如 \(\langle \psi, \psi \rangle = 0\)），这影响物理态的解释。 伴随算子 ：算子 \(A\) 的Krein伴随 \(A^\dagger\) 满足 \(\langle A\phi, \psi \rangle = \langle \phi, A^\dagger \psi \rangle\)，与希尔伯特空间中的厄米共轭不同，因内积不定。 与量子力学的联系 不定内积的物理意义 ：在量子场论中，Gupta-Bleuler形式化或BRST量子化需Krein空间处理赝概率（如光子极化态）。 PT对称量子力学 ：若哈密顿量 \(H\) 满足PT对称（宇称-时间联合对称），其本征态可能属于Krein空间，其中负模态可通过内积重规范化消除。 稳定性与单位性 ：物理态需限制在正定子空间（如通过约束条件），以保证概率解释和单位演化。 应用与扩展 散射理论 ：在具有不定度规的系统中，Krein空间用于定义渐近态和S矩阵的解析性。 扩展的谱理论 ：算子的点谱可能包含复数，但通过C算子（电荷共轭）可构造正定内积，恢复物理谱。 高阶微分算子 ：如Schrödinger算子与奇点相互作用时，其本征函数可能张成Krein空间，需广义谱分解。 Krein空间为处理量子理论中的非正定内积提供了严格框架，其核心是通过分解与规范化将物理态从不定空间映射到物理希尔伯特空间。