里斯引理 里斯引理（Riesz Lemma）是泛函分析中的基本工具，用于刻画赋范线性空间中子空间的“稠密性”或“逼近性质”。它通常分为两种形式：一种针对线性泛函的零空间，另一种针对子空间的逼近性质。下面我们重点讲解第一种形式（与线性泛函相关）。 第一步：背景与动机 在赋范空间 \( X \) 中，我们希望判断一个线性泛函 \( f \in X^* \) 是否“非零”。直观上，若 \( f \) 在某个子空间 \( M \subset X \) 上为零，但 \( f \) 本身非零，则 \( M \) 不可能“太大”。里斯引理精确描述了这一点： 若 \( f \) 在 \( M \) 上为零，则 \( f \) 的范数可由 \( X \setminus M \) 中的向量逼近 。 第二步：严格数学表述 定理（里斯引理） ： 设 \( X \) 是赋范空间，\( M \subset X \) 是闭子空间，且 \( M \neq X \)。若 \( f \in X^* \) 是连续线性泛函，且 \( f| M = 0 \)，则对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( x \varepsilon \in X \) 满足： \( \|x_ \varepsilon\| = 1 \)， \( d(x_ \varepsilon, M) = \inf_ {m \in M} \|x_ \varepsilon - m\| \geq 1 - \varepsilon \)， \( |f(x_ \varepsilon)| \geq \|f\| (1 - \varepsilon) \)。 第三步：关键思想解读 条件 \( f|_ M = 0 \) 意味着 \( f \) 的“作用”集中在 \( M \) 的补集部分。 结论表明，存在单位向量 \( x_ \varepsilon \) 几乎垂直于 \( M \)（即距离 \( M \) 接近 1），且 \( f \) 在该向量上取值接近其范数。 几何上：\( f \) 的范数可通过在 \( M \) 的“正交方向”上评估来逼近。 第四步：证明思路（核心步骤） 由 \( M \) 闭且真包含于 \( X \)，取 \( y \in X \setminus M \)。记 \( d = d(y, M) > 0 \)。 对任意 \( \delta > 0 \)，存在 \( m_ 0 \in M \) 使得 \( \|y - m_ 0\| \leq d + \delta \)。 令 \( x = \frac{y - m_ 0}{\|y - m_ 0\|} \)，则 \( \|x\| = 1 \) 且 \( d(x, M) \geq \frac{d}{d+\delta} \)。 利用 \( f|_ M = 0 \) 和 \( f \) 的线性性，计算 \( |f(x)| = \frac{|f(y)|}{\|y - m_ 0\|} \)。 通过调节 \( \delta \) 使 \( \frac{d}{d+\delta} \geq 1 - \varepsilon \)，并利用范数定义 \( \|f\| = \sup_ {\|z\|=1} |f(z)| \) 完成估计。 第五步：应用场景 哈恩-巴拿赫定理的证明 ：里斯引理是构造性证明的关键步骤，用于逐步扩展泛函。 对偶空间分析 ：判断泛函是否可分步逼近其范数。 算子理论 ：在研究投影算子、正交分解时用于构造“几乎极大”向量。 第六步：推广形式 另一常见形式（几何里斯引理）： 若 \( M \) 是赋范空间 \( X \) 的真闭子空间，则对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( x \in X \) 满足 \( \|x\|=1 \) 且 \( d(x, M) \geq 1 - \varepsilon \)。 这实际上是上述定理在 \( f \) 取为商空间 \( X/M \) 上的泛函时的特例。 通过以上步骤，里斯引理将泛函的范数逼近问题转化为几何上的向量逼近问题，成为分析学中连接线性泛函与空间几何结构的桥梁。