马尔可夫链蒙特卡洛方法（MCMC）
第一步：基础概念——什么是马尔可夫链？
马尔可夫链是一种随机过程，其未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与过去状态无关（即“无记忆性”）。例如，若用 \(X_t\) 表示时间 \(t\) 的状态，则满足：
\[P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t, X_{t-1} = x_{t-1}, \dots) = P(X_{t+1} = x_{t+1} \mid X_t = x_t). \]
在金融中，马尔可夫链可模拟资产价格的演化（如股价的离散变动）。
第二步：蒙特卡洛方法的局限性
蒙特卡洛方法通过随机抽样估计复杂积分或期望值（如期权定价）。但若目标概率分布（如后验分布）形态复杂或维度高，直接抽样效率极低。例如，在贝叶斯金融模型中，后验分布可能非标准且难以直接采样。
第三步：MCMC的核心思想——构建马尔可夫链
MCMC的核心是构造一个马尔可夫链，使其平稳分布（即长期运行后的状态分布）恰好是目标分布（如后验分布）。通过从链中生成样本，即可用这些样本近似目标分布。关键步骤包括：
- 初始化：选择初始状态 \(X_0\)。
- 迭代转移：根据转移概率 \(P(X_{t+1} \mid X_t)\) 生成新状态。
- 收敛后采样：丢弃初始的“预热”样本，保留后续样本用于计算。
第四步：具体算法——Metropolis-Hastings（M-H算法）
M-H算法是MCMC的典型实现，步骤如下：
- 从提议分布 \(Q(X_{t+1} \mid X_t)\)（如正态分布）中生成候选状态 \(X^*\)。
- 计算接受概率：
\[\alpha = \min\left(1, \frac{P(X^*) \cdot Q(X_t \mid X^*)}{P(X_t) \cdot Q(X^* \mid X_t)}\right), \]
其中 \(P(\cdot)\) 是目标分布密度。
3. 以概率 \(\alpha\) 接受 \(X^*\)（即 \(X_{t+1} = X^*\)），否则保持当前状态（ \(X_{t+1} = X_t\)）。
金融应用示例：估计随机波动率模型中的参数后验分布。
第五步：收敛性与实践要点
- 收敛诊断：需检查链是否达到平稳状态（如Gelman-Rubin统计量）。
- 自相关性：MCMC样本通常存在序列相关，需调整抽样间隔（ thinning）或增加样本量。
- 效率优化：提议分布的选择影响接受率，理想接受率常设在20%-50%。
第六步：金融数学中的典型应用
- 贝叶斯参数估计：对复杂模型（如跳跃-扩散模型）的参数进行后验推断。
- 风险度量：计算在险价值（VaR）的完整后验分布。
- 隐含波动率曲面建模：利用MCMC校准非参数波动率模型。
通过MCMC，金融分析师可处理传统方法难以解决的高维随机问题，提升定价与风险管理的准确性。