索末菲-马吕斯-杜平定理 定理的直观背景与几何动机 在几何光学中，光线是光能量传播的轨迹。一个核心问题是：一束光线（即一组具有特定方向的光线）在自由空间或经过光学系统（如反射、折射）传播后，其横截面的性质如何？索末菲-马吕斯-杜平定理描述了光线束的一个基本守恒性质。想象一束光线从一个点光源发出，其波前是球面。这束光线经过任意次的反射和折射后，定理断言，在光线束的任意横截面上，波前的曲率可能会改变，但光线密度与波前法线方向的关系满足一个特定的守恒律。 定理的精确数学表述 该定理的严格表述涉及微分几何。考虑一个光线束，可以用一个射线矢量场 s (r) 来描述，其中 | s | = n(r)（当地折射率）。存在一个标量函数 S(r)，称为光程函数或程函，使得 s = ∇S。S(r) = constant 的曲面称为波前。索末菲-马吕斯-杜平定理指出：对于任意两个由同一光源发出的光线束所穿过的曲面（不一定是波前），以下积分是不变量： ∬_ A n ( s · dA ) dΩ = constant 其中，dΩ 是立体角元。一个更常用且等价的表述是： 在均匀介质（n为常数）中，垂直于光线方向的横截面上，光线的辐照度（能量流密度）与波前在两个主曲率方向上的曲率半径之积成反比 。这意味着，即使光束被聚焦或发散，其“扩展性”也遵循严格的几何约束。 定理在波动光学中的意义与推广 虽然该定理源于几何光学，但它为理解波动光学中的衍射现象提供了桥梁。它保证了在几何光学近似有效的区域，光强的分布可以由光线密度和波前曲率确定。当光束通过焦点（焦散面）时，几何光学预言的无限大光强在此失效，这正标志着波动效应（如衍射）变得至关重要。定理的守恒形式可以看作是更普遍的刘维尔定理在光学中的应用，它描述了相空间中光线分布的守恒。 定理在现代光学中的应用实例 该定理是设计复杂光学系统（如激光谐振腔、非成像聚光器、积分光学器件）的基础原理之一。例如，在激光束传输中，它解释了为什么高斯光束在传播过程中其束腰尺寸和发散角满足特定的关系。在设计能量收集系统时，工程师利用该定理来计算理论上可能达到的最大聚光效率，即它定义了光学系统性能的一个基本极限。