倒向随机微分方程
第一步：基本概念与定义
倒向随机微分方程是描述终端条件固定、演化过程反向的随机系统。其一般形式为：
\[\begin{cases} dY_t = -f(t, Y_t, Z_t)dt + Z_t dW_t \\ Y_T = \xi \end{cases} \]
其中：
- \(Y_t\)是适应于过滤\(\{\mathcal{F}_t\}\)的随机过程，表示系统状态
- \(Z_t\)是适应过程，与布朗运动\(W_t\)的随机性耦合
- \(f\)是生成器函数，体现系统的漂移特性
- \(\xi\)是终端时刻\(T\)的已知随机变量（\(\mathcal{F}_T\)-可测）
关键特征：方程从终端时间\(T\)向初始时间\(t\)反向求解，需同时解出\((Y_t, Z_t)\)两个适应过程。
第二步：与正向SDE的本质区别
通过对比理解其特殊性：
- 正向SDE：给定初始条件\(Y_0\)，求终端分布（如几何布朗运动\(dS_t=\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t\)）
- 倒向SDE：给定终端条件\(Y_T=\xi\)，需反推初始值\(Y_0\)及演化路径
核心难点：\(Z_t\)必须保证\(Y_t\)始终适应于正向信息流\(\{\mathcal{F}_t\}\)（即解需满足"因果律"）
第三步：代表性示例——线性生成器情形
考虑生成器\(f(t,y,z)=\alpha y+\beta z\)的简化模型：
\[dY_t = -(\alpha Y_t + \beta Z_t)dt + Z_t dW_t \]
应用伊藤公式验证解：
设\(Y_t=e^{\alpha t}X_t\)，其中\(dX_t=\phi_t dW_t\)，代入可得：
\[Z_t=e^{\alpha t}\phi_t,\quad \phi_t需满足\mathbb{E}[\int_0^T e^{2\alpha t}|\phi_t|^2dt]<\infty \]
终端条件通过调整\(\phi_t\)实现\(Y_T=\xi\)。
第四步：存在唯一性定理（Pardoux-Peng定理）
若满足：
- 终端变量\(\xi\)平方可积：\(\mathbb{E}[|\xi|^2]<\infty\)
- 生成器\(f\)关于\((y,z)\)一致利普希茨连续
- 适应性条件：\(f(\cdot,0,0)\)平方可积
则存在唯一适应解对\((Y_t,Z_t)\)满足：
\[\mathbb{E}[\sup_{0\leq t\leq T}|Y_t|^2+\int_0^T|Z_t|^2dt]<\infty \]
第五步：非线性Feynman-Kac公式
建立与偏微分方程的联系：
假设\(Y_t=u(t,X_t)\)，其中\(dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\)，则：
- \(u(t,x)\)满足非线性PDE：
\[\frac{\partial u}{\partial t}+\mathcal{L}u+f(t,u,\sigma^\top\nabla u)=0 \]
- 终端条件：\(u(T,x)=\xi(X_T)\)
- 其中\(\mathcal{L}\)是\(X_t\)的无穷小生成元
- \(Z_t=\sigma(t,X_t)^\top\nabla u(t,X_t)\)给出解对第二个分量
第六步：金融数学中的典型应用
-
对冲组合构建：
\(Y_t\)表示对冲组合价值，\(Z_t\)对应资产持仓量，生成器\(f\)体现融资成本 -
非线性定价理论：
在资本要求约束下，定价方程变为：
\[ dY_t=-rY_t dt - \gamma|Z_t|dt + Z_t dW_t \]
其中\(\gamma|Z_t|\)表征资本成本导致的非线性项
- 随机控制问题：
最优控制值函数对应的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程可转化为BSDE求解
第七步：数值解法框架
- 时间离散化：将时间区间分割为\(0=t_0
- 向后归纳：从\(t_N\)到\(t_0\)递推：
\[ Y_{t_i}=\mathbb{E}[Y_{t_{i+1}}|\mathcal{F}_{t_i}]+f(t_i,Y_{t_i},Z_{t_i})\Delta t_i \]
- 条件期望估计：通过最小二乘蒙特卡洛或深度学习逼近\(Z_t=\frac{1}{\Delta t}\mathbb{E}[Y_{t+\Delta t}\Delta W_t|\mathcal{F}_t]\)
第八步：理论扩展方向
- 带反射BSDE：引入调节过程保证\(Y_t\geq S_t\)（障碍约束）
- 二阶BSDE：考虑模型不确定性下的稳健定价
- 平均场BSDE：处理具有相互作用粒子系统的大规模优化问题
- 完全耦合正倒向随机系统：适用于一般均衡模型