量子力学中的Wick定理

字数 2687 2025-10-28 22:11:54

量子力学中的Wick定理

Wick定理是量子场论和多体量子理论中处理算符编序的核心工具，它提供了一种系统的方法将算符乘积表示为正规序算符的求和。正规序是指将所有产生算符置于所有湮灭算符左侧的排列方式。Wick定理的重要性在于，它使得计算算符的真空期望值或热期望值变得非常直接，因为正规序算符的真空期望值为零。

让我们从基础概念开始，逐步深入。

步骤1：算符的基本分解与正规序
考虑玻色子产生和湮灭算符 \(a\) 和 \(a^\dagger\)，它们满足对易关系 \([a, a^\dagger] = 1\)。任何一个算符（例如坐标或动量算符）都可以用它们表示。算符的乘积，如 \(a a^\dagger\)，其具体形式依赖于算符的排序。正规序（用 \(N(\cdot)\) 表示）是一种约定的排序，即将所有产生算符 \(a^\dagger\) 放在所有湮灭算符 \(a\) 的左边。例如：

\[N(a a^\dagger) = a^\dagger a. \]

注意，由于对易关系 \(a a^\dagger = a^\dagger a + 1\)，所以原始算符与其正规序形式相差一个常数。

步骤2：收缩的概念
Wick定理的核心是“收缩”的概念。两个算符 \(A\) 和 \(B\) 的收缩定义为它们的编时积与正规序的差值：

\[\contraction{}{A}{}{B} A B = T(AB) - N(AB). \]

在零温情况下，编时积 \(T(AB)\) 等同于普通算符乘积 \(AB\)，而收缩其实就是这两个算符的真空期望值：

\[\contraction{}{A}{}{B} A B = \langle 0 | AB | 0 \rangle. \]

例如，对于湮灭算符 \(a\) 和产生算符 \(a^\dagger\)，我们有：

\[\contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger = \langle 0 | a a^\dagger | 0 \rangle = 1, \quad \text{而} \quad \contraction{}{a^\dagger}{}{a} a^\dagger a = 0, \quad \contraction{}{a}{}{a} a a = 0, \quad \contraction{}{a^\dagger}{}{a^\dagger} a^\dagger a^\dagger = 0. \]

收缩是一个数（c数），而不是算符。

步骤3：两个算符的简单情况
对于两个算符 \(A_1\) 和 \(A_2\) 的乘积，Wick定理表述为：

\[A_1 A_2 = N(A_1 A_2) + \contraction{}{A}{_1}{A} A_1 A_2. \]

这其实就是收缩的定义式。它表示，任意两个算符的乘积等于它们的正规序加上它们所有可能的收缩（这里只有一种可能的配对）。

步骤4：推广到多个算符的Wick定理
对于 \(n\) 个算符 \(A_1 A_2 \cdots A_n\) 的乘积，Wick定理的完整表述是：

\[A_1 A_2 \cdots A_n = N(A_1 A_2 \cdots A_n) + \sum_{\text{单收缩}} N(\underbrace{\cdots \contraction{}{A}{_i}{A} \cdots}_{A_i A_j \text{已收缩}}) + \sum_{\text{双收缩}} N(\cdots) + \cdots \]

等号右边包括：

所有算符的正规序 \(N(A_1 A_2 \cdots A_n)\)。
所有可能的单收缩项之和。每一项是将一对算符 \(A_i, A_j (i 用它们的收缩（一个数）代替，然后将剩下的 \(n-2\) 个算符取正规序。
所有可能的双收缩项之和。每一项是将两对不相交的算符同时进行收缩，然后将剩下的算符取正规序。
依此类推，直到所有算符都被配对收缩（如果 \(n\) 是偶数）或剩下一个算符（如果 \(n\) 是奇数）。

步骤5：一个具体例子
考虑三个算符的乘积 \(a a^\dagger a\)。

完全正规序项：\(N(a a^\dagger a) = a^\dagger a a\)。
单收缩项：

收缩 \(a\) 和 \(a^\dagger\)：\(\contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger N(a) = 1 \cdot N(a) = a\)。
收缩 \(a\) 和 \(a\)：\(\contraction{}{a}{}{a} a a N(a^\dagger) = 0\)。
收缩 \(a^\dagger\) 和 \(a\)：\(\contraction{}{a^\dagger}{}{a} a^\dagger a N(a) = 0\)。
（注意，在求和时，收缩的算符被移除，用其收缩值代替，剩余算符取正规序。）

双收缩项：需要三对收缩，但这里只有三个算符，无法形成两对不相交的收缩，故无双收缩项。

因此，根据Wick定理：

\[a a^\dagger a = N(a a^\dagger a) + \contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger N(a) = a^\dagger a a + a. \]

你可以通过直接计算对易关系来验证这个结果：\(a a^\dagger a = (a^\dagger a + 1)a = a^\dagger a a + a\)，与定理结果一致。

步骤6：Wick定理的扩展与应用

编时积的Wick定理：在量子场论中，更常用的是编时积的Wick定理。编时积 \(T(AB)\) 会引入时间顺序算子，此时收缩定义为费曼传播子，它是一个函数而非常数。定理形式类似，但应用更为广泛，是计算散射振幅和费曼图的基础。
费米子情况：对于费米子算符（满足反对易关系），Wick定理仍然成立，但在每一项前需要加上一个符号 \((-1)^\sigma\)，其中 \(\sigma\) 是将算符从原始顺序排列到收缩顺序所需置换的奇偶性。

总结来说，Wick定理是一个强大的组合数学工具，它将复杂的算符乘积分解为结构清晰的正规序项之和，极大地简化了微扰计算中的期望值计算。

量子力学中的Wick定理 Wick定理是量子场论和多体量子理论中处理算符编序的核心工具，它提供了一种系统的方法将算符乘积表示为正规序算符的求和。正规序是指将所有产生算符置于所有湮灭算符左侧的排列方式。Wick定理的重要性在于，它使得计算算符的真空期望值或热期望值变得非常直接，因为正规序算符的真空期望值为零。让我们从基础概念开始，逐步深入。步骤1：算符的基本分解与正规序考虑玻色子产生和湮灭算符 \(a\) 和 \(a^\dagger\)，它们满足对易关系 \([ a, a^\dagger ] = 1\)。任何一个算符（例如坐标或动量算符）都可以用它们表示。算符的乘积，如 \(a a^\dagger\)，其具体形式依赖于算符的排序。正规序（用 \(N(\cdot)\) 表示）是一种约定的排序，即将所有产生算符 \(a^\dagger\) 放在所有湮灭算符 \(a\) 的左边。例如： \[ N(a a^\dagger) = a^\dagger a. \] 注意，由于对易关系 \(a a^\dagger = a^\dagger a + 1\)，所以原始算符与其正规序形式相差一个常数。步骤2：收缩的概念 Wick定理的核心是“收缩”的概念。两个算符 \(A\) 和 \(B\) 的收缩定义为它们的编时积与正规序的差值： \[ \contraction{}{A}{}{B} A B = T(AB) - N(AB). \] 在零温情况下，编时积 \(T(AB)\) 等同于普通算符乘积 \(AB\)，而收缩其实就是这两个算符的真空期望值： \[ \contraction{}{A}{}{B} A B = \langle 0 | AB | 0 \rangle. \] 例如，对于湮灭算符 \(a\) 和产生算符 \(a^\dagger\)，我们有： \[ \contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger = \langle 0 | a a^\dagger | 0 \rangle = 1, \quad \text{而} \quad \contraction{}{a^\dagger}{}{a} a^\dagger a = 0, \quad \contraction{}{a}{}{a} a a = 0, \quad \contraction{}{a^\dagger}{}{a^\dagger} a^\dagger a^\dagger = 0. \] 收缩是一个数（c数），而不是算符。步骤3：两个算符的简单情况对于两个算符 \(A_ 1\) 和 \(A_ 2\) 的乘积，Wick定理表述为： \[ A_ 1 A_ 2 = N(A_ 1 A_ 2) + \contraction{}{A}{_ 1}{A} A_ 1 A_ 2. \] 这其实就是收缩的定义式。它表示，任意两个算符的乘积等于它们的正规序加上它们所有可能的收缩（这里只有一种可能的配对）。步骤4：推广到多个算符的Wick定理对于 \(n\) 个算符 \(A_ 1 A_ 2 \cdots A_ n\) 的乘积，Wick定理的完整表述是： \[ A_ 1 A_ 2 \cdots A_ n = N(A_ 1 A_ 2 \cdots A_ n) + \sum_ {\text{单收缩}} N(\underbrace{\cdots \contraction{}{A}{ i}{A} \cdots} {A_ i A_ j \text{已收缩}}) + \sum_ {\text{双收缩}} N(\cdots) + \cdots \] 等号右边包括：所有算符的正规序 \(N(A_ 1 A_ 2 \cdots A_ n)\)。所有可能的单收缩项之和。每一项是将一对算符 \(A_ i, A_ j (i <j)\) 用它们的收缩（一个数）代替，然后将剩下的 \(n-2\) 个算符取正规序。所有可能的双收缩项之和。每一项是将两对不相交的算符同时进行收缩，然后将剩下的算符取正规序。依此类推，直到所有算符都被配对收缩（如果 \(n\) 是偶数）或剩下一个算符（如果 \(n\) 是奇数）。步骤5：一个具体例子考虑三个算符的乘积 \(a a^\dagger a\)。完全正规序项：\(N(a a^\dagger a) = a^\dagger a a\)。单收缩项：收缩 \(a\) 和 \(a^\dagger\)：\(\contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger N(a) = 1 \cdot N(a) = a\)。收缩 \(a\) 和 \(a\)：\(\contraction{}{a}{}{a} a a N(a^\dagger) = 0\)。收缩 \(a^\dagger\) 和 \(a\)：\(\contraction{}{a^\dagger}{}{a} a^\dagger a N(a) = 0\)。（注意，在求和时，收缩的算符被移除，用其收缩值代替，剩余算符取正规序。）双收缩项：需要三对收缩，但这里只有三个算符，无法形成两对不相交的收缩，故无双收缩项。因此，根据Wick定理： \[ a a^\dagger a = N(a a^\dagger a) + \contraction{}{a}{}{a^\dagger} a a^\dagger N(a) = a^\dagger a a + a. \] 你可以通过直接计算对易关系来验证这个结果：\(a a^\dagger a = (a^\dagger a + 1)a = a^\dagger a a + a\)，与定理结果一致。步骤6：Wick定理的扩展与应用编时积的Wick定理：在量子场论中，更常用的是编时积的Wick定理。编时积 \(T(AB)\) 会引入时间顺序算子，此时收缩定义为费曼传播子，它是一个函数而非常数。定理形式类似，但应用更为广泛，是计算散射振幅和费曼图的基础。费米子情况：对于费米子算符（满足反对易关系），Wick定理仍然成立，但在每一项前需要加上一个符号 \((-1)^\sigma\)，其中 \(\sigma\) 是将算符从原始顺序排列到收缩顺序所需置换的奇偶性。总结来说，Wick定理是一个强大的组合数学工具，它将复杂的算符乘积分解为结构清晰的正规序项之和，极大地简化了微扰计算中的期望值计算。