二次域
字数 1922 2025-10-28 22:11:54

二次域

二次域是有理数域的二次扩张，即形如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 的数域，其中 \(d\) 是无平方因子的整数（即 \(d \neq 0,1\)，且不被任何大于 1 的平方数整除）。

1. 二次域的基本定义与例子

  • 二次域是包含所有形如 \(a + b\sqrt{d}\) 的数的集合，其中 \(a, b \in \mathbb{Q}\)，\(d\) 是无平方因子的整数。
  • 若 \(d > 0\)，称为实二次域（如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)）；若 \(d < 0\)，称为虚二次域（如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)）。
  • 例子：
    • \(\mathbb{Q}(\sqrt{5})\)：元素包括 \(3 + \frac{1}{2}\sqrt{5}\)、\(\sqrt{5}\) 等。
    • \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)：包含复数，如 \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\)。

2. 共轭与范数

  • 对 \(\alpha = a + b\sqrt{d}\)，其共轭为 \(\overline{\alpha} = a - b\sqrt{d}\)。
  • 范数定义为 \(N(\alpha) = \alpha \cdot \overline{\alpha} = a^2 - db^2\)。
    • 性质：范数是乘性的，即 \(N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)\)。
    • 例子：在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 中，\(N(1+\sqrt{2}) = 1^2 - 2\cdot1^2 = -1\)。

3. 整数环与代数整数

  • 二次域的整数环是其代数整数的集合（满足首一整系数多项式的元素）。
  • 分类：
    • 若 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)：整数环为 \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\)，元素形如 \(a + b\sqrt{d}\)（\(a, b \in \mathbb{Z}\))。
    • 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)：整数环为 \(\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\right]\)，例如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\) 的整数环包含 \(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)（三次单位根）。
  • 例子：
    • \(\mathbb{Q}(\sqrt{5})\)（\(d=5 \equiv 1 \pmod{4}\)）：整数环为 \(\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\)。

4. 单位群

  • 单位是整数环中范数为 \(\pm 1\) 的元素。
  • 虚二次域（\(d < 0\)）的单位群有限：
    • \(d = -1\)（高斯整数）：单位群为 \(\{\pm 1, \pm i\}\)。
    • \(d = -3\)：单位群为 6 个三次单位根。
    • 其他虚二次域仅有两个单位 \(\{\pm 1\}\)。
  • 实二次域（\(d > 0\)）的单位群无限，由基本单位生成：
    • 例子：\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 的基本单位是 \(1+\sqrt{2}\)，其幂生成所有单位。

5. 理想类群与类数

  • 整数环的理想类群衡量唯一因子分解的失效程度。
  • 若类数为 1，整数环是唯一分解整环（UFD），如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)、\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)。
  • 若类数大于 1，则存在不可约元素分解不唯一：
    • 例子：\(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 中，\(6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\)。
  • 类数计算是数论难题，与二次型的类数相关。

6. 二次域与二次型的关系

  • 二次域的范数形式 \(a^2 - db^2\) 是二元二次型。
  • 理想类群与二次型类群同构（高斯类数问题）。

7. 应用：费马大定理的特殊情况

  • 库默尔用分圆域与二次域研究费马大定理，发现若类数不被素数 \(p\) 整除，则方程 \(x^p + y^p = z^p\) 无整数解。

二次域是代数数论的基础对象，连接了素数分布、类域论和模形式等高级主题。

二次域 二次域是有理数域的二次扩张，即形如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) 的数域，其中 \( d \) 是无平方因子的整数（即 \( d \neq 0,1 \)，且不被任何大于 1 的平方数整除）。 1. 二次域的基本定义与例子 二次域是包含所有形如 \( a + b\sqrt{d} \) 的数的集合，其中 \( a, b \in \mathbb{Q} \)，\( d \) 是无平方因子的整数。 若 \( d > 0 \)，称为 实二次域 （如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)）；若 \( d < 0 \)，称为 虚二次域 （如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) \)）。 例子： \( \mathbb{Q}(\sqrt{5}) \)：元素包括 \( 3 + \frac{1}{2}\sqrt{5} \)、\( \sqrt{5} \) 等。 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \)：包含复数，如 \( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2} \)。 2. 共轭与范数 对 \( \alpha = a + b\sqrt{d} \)，其 共轭 为 \( \overline{\alpha} = a - b\sqrt{d} \)。 范数 定义为 \( N(\alpha) = \alpha \cdot \overline{\alpha} = a^2 - db^2 \)。 性质：范数是乘性的，即 \( N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) \)。 例子：在 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 中，\( N(1+\sqrt{2}) = 1^2 - 2\cdot1^2 = -1 \)。 3. 整数环与代数整数 二次域的 整数环 是其代数整数的集合（满足首一整系数多项式的元素）。 分类： 若 \( d \equiv 2, 3 \pmod{4} \)：整数环为 \( \mathbb{Z}[ \sqrt{d} ] \)，元素形如 \( a + b\sqrt{d} \)（\( a, b \in \mathbb{Z} \))。 若 \( d \equiv 1 \pmod{4} \)：整数环为 \( \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{d}}{2}\right ] \)，例如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \) 的整数环包含 \( \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \)（三次单位根）。 例子： \( \mathbb{Q}(\sqrt{5}) \)（\( d=5 \equiv 1 \pmod{4} \)）：整数环为 \( \mathbb{Z}\left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right ] \)。 4. 单位群 单位 是整数环中范数为 \( \pm 1 \) 的元素。 虚二次域（\( d < 0 \)）的单位群有限： \( d = -1 \)（高斯整数）：单位群为 \( \{\pm 1, \pm i\} \)。 \( d = -3 \)：单位群为 6 个三次单位根。 其他虚二次域仅有两个单位 \( \{\pm 1\} \)。 实二次域（\( d > 0 \)）的单位群无限，由 基本单位 生成： 例子：\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) 的基本单位是 \( 1+\sqrt{2} \)，其幂生成所有单位。 5. 理想类群与类数 整数环的 理想类群 衡量唯一因子分解的失效程度。 若类数为 1，整数环是唯一分解整环（UFD），如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) \)、\( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)。 若类数大于 1，则存在不可约元素分解不唯一： 例子：\( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) 中，\( 6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \)。 类数计算是数论难题，与二次型的类数相关。 6. 二次域与二次型的关系 二次域的范数形式 \( a^2 - db^2 \) 是二元二次型。 理想类群与二次型类群同构（高斯类数问题）。 7. 应用：费马大定理的特殊情况 库默尔用分圆域与二次域研究费马大定理，发现若类数不被素数 \( p \) 整除，则方程 \( x^p + y^p = z^p \) 无整数解。 二次域是代数数论的基础对象，连接了素数分布、类域论和模形式等高级主题。