代数数域 代数数域是代数数论中的核心概念，它是有理数域的有限次代数扩张。简单来说，一个代数数域是包含所有有理数以及有限多个代数数的集合，这些代数数本身是某个有理系数多项式的根。 第一步：理解基础——有理数域 有理数域（通常记为 ℚ）是所有可以表示为两个整数之比的数的集合。它是我们讨论的起点，具有加、减、乘、除（除数不为零）的封闭性。ℚ 是最小的数域。 第二步：引入代数数 一个复数被称为代数数，如果它是某个非零有理系数多项式（或等价地，整数系数多项式）的根。例如，√2 是代数数，因为它是多项式 x² - 2 = 0 的根。所有有理数本身也是代数数（例如，有理数 a/b 是多项式 bx - a = 0 的根）。不是代数数的复数被称为超越数，例如 π 和 e。 第三步：构造域的扩张 当我们想在一个域（如 ℚ）中研究一个代数数（如 √2）时，我们会考虑由 ℚ 和这个代数数共同生成的更大的域。这个新域记为 ℚ(√2)，它包含所有形如 a + b√2 的数，其中 a 和 b 是有理数。可以验证，在这个集合中进行加、减、乘、除运算，结果仍然保持这种形式，因此它构成一个域。这被称为单扩张。 第四步：定义代数数域 一个代数数域 K 是 ℚ 的一个有限次扩张。这意味着存在有限个代数数 α₁, α₂, ..., αₙ，使得 K = ℚ(α₁, α₂, ..., αₙ)。扩张的次数 [ K : ℚ] 是指将 K 视为 ℚ 上的线性空间时，这个线性空间的维数。例如，ℚ(√2) 的维数是 2，因为 {1, √2} 构成一组基，所以 [ ℚ(√2) : ℚ ] = 2。 第五步：代数数域中的代数整数 在代数数域 K 中，我们特别关注一类元素，称为代数整数。一个代数整数是某个首一（最高次项系数为1）整数系数多项式的根。例如，在 ℚ(√2) 中，√2 是代数整数（根为 x² - 2 = 0），而 1/2 不是代数整数。一个代数数域 K 中所有代数整数的集合构成一个环，称为 K 的整数环（记为 𝒪_ K）。这是研究代数数域性质的关键对象。 第六步：一个关键性质——整数环的整基 对于任何代数数域 K，其整数环 𝒪_ K 作为一个 ℤ-模是有限生成的。具体来说，存在一组代数整数 {ω₁, ω₂, ..., ωₙ}（其中 n = [ K : ℚ]），使得 𝒪_ K 中的每一个元素都能唯一地表示为这些基底的整数系数线性组合。这组基底称为 𝒪_ K 的整基。例如，ℚ(√2) 的整数环是 ℤ[ √2 ]，其整基为 {1, √2}。 第七步：理想与唯一因子分解 在普通的整数环 ℤ 中，我们有算术基本定理，即每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积。然而，在一般的代数整数环 𝒪_ K 中，这种唯一的素因子分解性质对于元素本身可能不成立。为了解决这个问题，数论学家将研究焦点从“元素”转向“理想”。在 𝒪_ K 中，理想（特别是分式理想）具有唯一的素理想分解性质，这是代数数论的一个里程碑式的结果。 第八步：应用与意义 代数数域的理论是解决许多经典数论问题（如费马大定理）的基础工具。通过研究不同代数数域的结构、它们的类数（衡量整数环与唯一分解性质偏离程度的数）、单位群等，我们可以深入理解整数的深层算术性质。