哈尔测度的唯一性 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一种特殊测度，它具有平移不变性。其唯一性定理指出，在相差一个正常数因子的意义下，哈尔测度是唯一的。下面我们逐步展开讲解。 拓扑群的基本概念 首先，一个 拓扑群 G 是一个同时具有群结构和拓扑结构的集合，并且群的乘法运算 \((g, h) \mapsto gh\) 和取逆运算 \(g \mapsto g^{-1}\) 都是连续映射。例如，实数集 \(\mathbb{R}\) 在加法下、正实数集 \(\mathbb{R}^+\) 在乘法下、以及任何群赋予离散拓扑后，都是拓扑群。 局部紧性与不变测度 我们特别关注 局部紧拓扑群 ，即其中每一点都有一个紧邻域的拓扑群。在这种群上，我们希望定义一个测度，使其在群的平移操作下保持不变。具体来说，一个测度 \(\mu\) 称为 左平移不变的 ，如果对于任何可测集 \(E\) 和任何群元素 \(g\)，都有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)，其中 \(gE = \{ gh : h \in E \}\)。类似地可以定义右平移不变性。 哈尔测度的存在性 哈尔定理首先断言：在任何局部紧拓扑群上，存在一个在左平移下不变的拉德on测度（即满足某些正则性条件的博雷尔测度），并且这个测度不是零测度，在紧集上取有限值。这个测度就称为 左哈尔测度 。同样地，也存在 右哈尔测度 。 唯一性定理的表述 哈尔测度的 唯一性 指的是：如果 \(\mu\) 和 \(\nu\) 都是群 \(G\) 上的非零左平移不变的拉德on测度，那么存在一个正常数 \(c > 0\)，使得对所有可测集 \(E\)，都有 \(\nu(E) = c \mu(E)\)。换言之，在相差一个常数倍的意义下，左哈尔测度是唯一的。右哈尔测度也具有同样的唯一性。 唯一性定理的证明思路 唯一性的证明通常基于里斯表示定理和一个巧妙的“卷积”思想。其核心步骤是： a. 考虑由 \(G\) 上紧支集连续函数构成的向量空间 \(C_ c(G)\)。 b. 给定两个左哈尔测度 \(\mu\) 和 \(\nu\)，可以构造两个 \(C_ c(G)\) 上的正线性泛函：\(I_ \mu(f) = \int f d\mu\) 和 \(I_ \nu(f) = \int f d\nu\)。 c. 证明这两个泛函是“成比例”的。具体方法是，固定一个非零函数 \(h \in C_ c(G)\)，对于任意 \(f \in C_ c(G)\)，通过比较积分 \(\iint f(x)h(y) d\mu(x)d\nu(y)\) 和 \(\iint f(x)h(y) d\nu(x)d\mu(y)\)，并利用平移不变性进行变量代换，最终可以得出 \(I_ \mu(f) / I_ \nu(f)\) 是一个与 \(f\) 无关的常数 \(c\)。 d. 根据里斯表示定理，线性泛函与测度一一对应，因此 \(\mu = c \nu\)。 模函数与幺模群 左哈尔测度和右哈尔测度一般不相同。它们之间的关系由一个称为 模函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^+\) 的连续群同态来描述：如果 \(\mu\) 是左哈尔测度，那么由 \(d\mu_ r(g) = \Delta(g^{-1}) d\mu(g)\) 定义的测度 \(\mu_ r\) 是右哈尔测度。如果一个群的模函数恒为 1，则称为 幺模群 ，此时左哈尔测度与右哈尔测度相同。紧群、阿贝尔群都是幺模群。 总结来说，哈尔测度的唯一性定理是调和分析的一块基石，它保证了在局部紧群上存在一个本质上是唯一的、用于做积分的“标准尺子”，这使得傅里叶分析等工具可以推广到这类群上。