勒贝格控制收敛定理 背景与动机 在数学分析中，我们经常需要处理函数序列的极限与积分交换顺序的问题，即是否满足： \[ \lim_ {n\to\infty} \int f_ n = \int \lim_ {n\to\infty} f_ n。 \] 对于黎曼积分，这一性质需要函数序列一致收敛等较强条件。勒贝格积分理论通过引入“控制函数”的概念，极大地放宽了条件，使极限与积分交换更灵活。 定理的严格表述 设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 是一个测度空间，\(\{f_ n\}\) 是可测函数序列，且满足以下条件： 逐点收敛 ：存在函数 \(f\)，使得 \(f_ n(x) \to f(x)\) 在 \(X\) 上几乎处处成立。 可积控制函数 ：存在一个可积函数 \(g \in L^1(\mu)\)，使得对所有 \(n\) 和几乎处处的 \(x\)，有 \(|f_ n(x)| \leq g(x)\)。 则： \(f\) 是可积函数（即 \(f \in L^1(\mu)\)）； 每个 \(f_ n\) 可积； 极限与积分可交换： \[ \lim_ {n\to\infty} \int_ X f_ n \,d\mu = \int_ X f \,d\mu。 \] 关键概念剖析 控制函数 \(g\) ：这是一个全局的“界”，确保所有 \(f_ n\) 的绝对值不超过一个固定的可积函数。这避免了函数序列在积分区域上出现不可积的尖峰。 几乎处处收敛 ：允许在零测集上不收敛，不影响积分结果（因零测集对积分无贡献）。 可积性要求 ：控制函数 \(g\) 的可积性保证了 \(f_ n\) 和 \(f\) 的可积性，这是积分交换的基础。 与其它收敛定理的关系 单调收敛定理 ：要求序列单调递增且非负，不需要控制函数，但适用范围较窄。 法图引理 ：给出积分下极限的不等式，而控制收敛定理提供了等号成立的充分条件。 控制收敛定理是更强大的工具 ：结合了逐点收敛和一致可积性（由 \(g\) 保证），适用于非单调序列。 应用示例 考虑函数序列 \(f_ n(x) = \frac{n}{1+n^2 x^2}\) 在区间 \([ 0,1]\) 上。虽 \(f_ n \to 0\) 逐点成立，但若无控制函数，积分与极限不可交换（因为 \(\int_ 0^1 f_ n \to \frac{\pi}{2}\)）。若限制定义域为 \([ a,1 ] (a>0)\)，则存在可积控制函数 \(g(x)=\frac{1}{a^2 x^2}\)，此时定理适用，积分与极限可交换。 定理的推广 依测度收敛版本 ：若 \(f_ n\) 依测度收敛于 \(f\)，且受同一可积函数控制，结论仍成立。 \(L^p\) 空间版本 ：若控制函数 \(g \in L^p\)，则 \(f_ n\) 在 \(L^p\) 范数下收敛于 \(f\)。 重要性 该定理是勒贝格积分理论的核心工具之一，广泛应用于傅里叶分析、概率论（如期望的极限计算）和偏微分方程中，为处理极限过程提供了统一框架。