椭圆曲线与费马大定理的证明

1. 椭圆曲线的定义与基本性质
   椭圆曲线是形如 \(y^2 = x^3 + ax + b\)（满足判别式 \(\Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0\)）的三次光滑曲线。其核心特征在于点的加法运算：过曲线上两点作直线，与曲线第三交点关于x轴的对称点定义为“和”。该运算构成阿贝尔群，单位元为无穷远点。此结构是椭圆曲线研究的基础。

2. 从椭圆积分到椭圆曲线的历史转折
   19世纪，雅可比等数学家发现椭圆积分反演可定义椭圆函数（如魏尔斯特拉斯℘函数），其满足的微分方程自然引出椭圆曲线方程。这一关联将椭圆曲线从计算工具提升为独立研究对象，为算术几何埋下伏笔。

3. 模形式与谷山-志村猜想的提出
   20世纪50年代，谷山丰和志村五郎提出猜想：所有有理数域上的椭圆曲线均具有模性，即其L函数匹配某模形式的L函数。这一桥梁性猜想将几何对象（椭圆曲线）与分析对象（模形式）深刻联系，成为后续突破的关键。

4. 弗赖曲线与费马大定理的归约
   1985年，弗赖假设费马方程\(a^n + b^n = c^n\)有非平凡解，则构造椭圆曲线\(y^2 = x(x - a^n)(x + b^n)\)（弗赖曲线）。他提出该曲线不可能模，若谷山-志村猜想成立，则费马方程无解。这一转化将数论经典问题变为椭圆曲线可模性证明。

5. 怀尔斯的证明与后续发展
   1994年，怀尔斯通过证明半稳定椭圆曲线的谷山-志村猜想，解决费马大定理。他采用伽罗瓦表示、模形式变形等工具，最终补充科茨-泰勒理论完成证明。这一成果推动朗兰兹纲领研究，彰显椭圆曲线作为现代数学核心枢纽的地位。