图的连通性参数 图的连通性参数是衡量图连通程度的一组重要指标，它们量化了使图变得不连通所需移除的最小顶点数或边数。这些参数包括顶点连通度、边连通度等，广泛应用于网络可靠性分析、路径规划等领域。以下将逐步展开讲解。 1. 基本定义与背景 连通性参数 的核心思想是：通过移除最少的顶点或边，使图从连通状态变为不连通（或增加连通分支数）。例如，在通信网络中，这对应着使网络瘫痪的最小故障点或链路数。 主要参数包括： 顶点连通度（κ(G)） ：使图不连通所需移除的最小顶点数。若 κ(G) ≥ k，称图是 k-顶点连通 的。 边连通度（λ(G)） ：使图不连通所需移除的最小边数。若 λ(G) ≥ k，称图是 k-边连通 的。 2. 顶点连通度（κ(G)）的详细解释 定义 ：对非完全图，κ(G) = min{ |S| | S ⊆ V(G)，删除S后图不连通 }；若G是完全图（任意两顶点相邻），定义 κ(Kₙ) = n-1。 计算示例 ： 树：删除任意一个顶点可能使其不连通，故 κ(T) = 1（除非树只有1个顶点）。 环图 Cₙ（n≥3）：需删除至少2个顶点才能使其不连通，故 κ(Cₙ) = 2。 完全图 Kₙ：需删除 n-1 个顶点才能使剩余图孤立，故 κ(Kₙ) = n-1。 性质 ： 若图非连通，则 κ(G) = 0。 门格尔定理 ：κ(G) 等于图中任意两不相邻顶点间内部不相交路径的最大数量。 3. 边连通度（λ(G)）的详细解释 定义 ：λ(G) = min{ |F| | F ⊆ E(G)，删除F后图不连通 }。 计算示例 ： 树：删除任意一条边即不连通，故 λ(T) = 1。 环图 Cₙ：需删除至少2条边才能不连通，故 λ(Cₙ) = 2。 完全图 Kₙ：需删除 n-1 条边（例如与某一顶点相连的所有边），故 λ(Kₙ) = n-1。 性质 ： 对任意图，有 κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G) ，其中 δ(G) 是图的最小度。这是因为： 删除与最小度顶点相连的 δ(G) 条边可使其孤立，故 λ(G) ≤ δ(G)。 删除使图不连通的最小边集后，可能通过删除更少的顶点达到相同效果，故 κ(G) ≤ λ(G)。 4. 连通性参数的应用与扩展 网络可靠性 ：在通信或交通网络中，κ(G) 和 λ(G) 直接反映系统的容错能力。例如，若 κ(G) = 3，则需至少3个节点同时故障才会使网络断开。 高连通图构造 ：通过添加边或顶点，可提升图的连通度，例如在分布式系统中设计冗余路径。 扩展概念 ： k-连通图 ：若 κ(G) ≥ k，则称G是k-连通的。类似地，若 λ(G) ≥ k，称G是k-边连通的。 局部连通性 ：可定义任意两顶点间的连通度，用于衡量特定节点对间的可靠性。 5. 算法与计算复杂性 计算 κ(G) 和 λ(G) 是经典问题： 边连通度可通过最大流算法（如Dinic算法）在多项式时间计算：λ(G) 等于图中所有顶点对间最大流的最小值。 顶点连通度的计算更复杂，但存在 O(|V|·|E|) 时间复杂度的算法（如基于DFS的分解方法）。 近似算法 ：对于大规模图，可用启发式算法快速估计连通度的下界。 通过以上步骤，可以看到连通性参数如何从基本定义延伸到实际应用，并为网络分析提供关键度量工具。