里斯-马尔可夫定理 我们先从函数空间的角度开始。考虑定义在闭区间 [ a,b] 上的所有连续实值函数构成的集合，记作 C[ a,b]。在这个空间上，我们可以定义一种“线性泛函”。一个线性泛函 F 是一个映射，它将每个函数 f ∈ C[ a,b ] 对应到一个实数 F(f)，并且满足对任意函数 f, g 和实数 α, β，都有 F(αf + βg) = αF(f) + βF(g)。换句话说，它是一个保持线性运算的规则。 现在，一个特别重要且自然的线性泛函的例子是“由函数 g 确定的黎曼-斯蒂尔杰斯积分泛函”。具体来说，如果我们固定一个在 [ a,b] 上单调递增的函数 g，那么我们可以定义泛函 F_ g 为：对任意 f ∈ C[ a,b]，F_ g(f) = ∫_ a^b f(x) dg(x)。这里的积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分。你可以直观地理解为，函数 g 提供了一种“权重”或“测量”方式，这个泛函 F_ g 就是按照 g 提供的权重对 f 进行加权平均。 一个很自然的问题随之产生：C[ a,b] 上的每一个线性泛函，是否都能由某个单调递增函数 g 通过这种积分方式得到呢？里斯-马尔可夫定理回答了这个问题。它的核心结论是：对于 C[ a,b] 上的任意一个连续正线性泛函 F（“正”意味着如果函数 f 非负，则 F(f) 也非负），总存在一个在 [ a,b] 上单调递增的右连续函数 g，使得对任意 f ∈ C[ a,b]，都有 F(f) = ∫_ a^b f(x) dg(x)。并且，在相差一个常数意义下，这样的函数 g 是唯一的。 为了更深刻地理解这个定理，我们需要审视其中的一个关键对象：由 g 产生的“测度”。黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ∫ f dg 实际上定义了一个在区间上的“测度”。例如，对于区间 (c, d] ⊂ [ a,b]，我们可以定义它的“g-长度”为 g(d) - g(c)。这个“长度”具有可数可加性等良好性质，它是一个博雷尔测度。因此，里斯-马尔可夫定理实质上建立了 C[ a,b] 上的连续正线性泛函与 [ a,b] 上的博雷尔测度之间的一一对应关系。每一个这样的泛函，都唯一地对应一个博雷尔测度 μ，使得 F(f) = ∫_ a^b f(x) dμ(x)。这里的积分是勒贝格积分，它比黎曼-斯蒂尔杰斯积分适用范围更广。 这个定理的意义非常深远。它意味着，在紧致区间上，连续函数空间上的线性泛函完全可以通过测度来“表示”。这为算子理论、偏微分方程以及概率论（例如，连续函数空间上的期望算子对应于一个概率测度）提供了强大的工具。它是连接经典分析和现代泛函分析的一座重要桥梁。