索末菲衍射理论 索末菲衍射理论是研究光波通过孔径或障碍物后传播规律的严格数学模型。它基于亥姆霍兹方程的精确解，弥补了基尔霍夫衍射理论的数学不自洽性（如边界条件矛盾）。以下逐步展开其核心内容： 1. 问题背景与基尔霍夫理论的缺陷 目标 ：求解单色光波通过屏幕上的孔径后，后方空间的波场分布。 基尔霍夫理论的矛盾 ： 假设孔径后的波场完全由孔径内的场分布决定，但屏幕两侧的边界条件被同时设定为：屏幕本身为理想导体（场为零）且孔径处场连续。这违反格林定理所需的边界一致性。 索末菲的改进 ：引入更合理的边界条件（如仅假设屏幕一侧的场或法向导数已知），通过不同格林函数消除矛盾。 2. 数学基础：亥姆霍兹方程与格林定理 单色波场 \( u(\mathbf{r}) e^{-i\omega t} \) 满足亥姆霍兹方程： \[ (\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{r}) = 0, \] 其中 \( k = \omega/c \) 为波数。 格林定理 （标量形式）： \[ \iiint_ V (u\nabla^2 G - G\nabla^2 u) dV = \iint_ S \left( u \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS, \] 其中 \( G \) 是格林函数，\( S \) 为边界曲面，\( \partial/\partial n \) 为法向导数。 3. 索末菲的格林函数选择 基尔霍夫使用自由空间格林函数 \( G_ 0(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{e^{ikR}}{R} \)（\( R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| \)），但需对屏幕和孔径同时设定边界条件导致矛盾。 索末菲的两种修正方案 ： 第一类解 ：选择格林函数 \( G_ 1 \) 满足 \( G_ 1 = 0 \) 在屏幕表面（狄利克雷条件）。此时仅需假设孔径处的场 \( u \) 已知，屏幕其他部分贡献为零。 第二类解 ：选择格林函数 \( G_ 2 \) 满足 \( \partial G_ 2/\partial n = 0 \) 在屏幕表面（诺伊曼条件）。此时仅需假设孔径处的法向导数 \( \partial u/\partial n \) 已知。 4. 半平面衍射的严格解示例 考虑无限大屏幕有一刀口（半平面障碍物），平面波入射。索末菲通过坐标变换将问题转化为傅里叶积分，得到 索末菲衍射公式 ： \[ u(x, y) = \frac{e^{ikr}}{r} F(\xi), \quad \xi = \sqrt{\frac{2k}{\pi r}} y, \] 其中 \( F(\xi) \) 与菲涅尔积分相关，描述衍射条纹的渐近行为。 关键结论 ：在阴影边界附近，场强度平滑过渡，与几何光学预测的突变形成对比。 5. 与基尔霍夫结果的对比 基尔霍夫公式预测的衍射图样在近场与索末菲结果相似，但远场或大角度时偏差显著。 索末菲理论的优越性 ： 边界条件自洽； 可严格求解半平面、狭缝等问题； 为后续电磁衍射理论（如米氏散射）提供基础。 6. 扩展应用 索末菲积分表示 ：用于计算层状介质中的波传播（如地震波、电磁波在分层地球模型中的响应）。 数值实现 ：通过快速傅里叶变换加速索末菲积分的计算，应用于光学显微成像和雷达探测。 通过逐步修正格林函数和边界条件，索末菲衍射理论实现了波动光学衍射模型的数学严谨性，成为现代光学和电磁理论的重要基石。