报童模型 基本概念与问题背景 报童模型是运筹学中经典的单周期随机库存模型，描述了一个简化的库存管理问题：报童每天早晨采购报纸，在当天销售后未售出的报纸会报废，而需求是随机的。报童需决定采购数量，以平衡供过于求的报废损失和供不应求的缺货损失。该模型的核心是 在随机需求下寻找最优订货量 ，适用于短生命周期产品（如生鲜、时尚品）的决策。 模型假设与符号定义 假设： 单周期决策，需求 \( D \) 为非负随机变量，其概率分布已知（累积分布函数 \( F(d) \)，概率密度函数 \( f(d) \)）； 单位采购成本为 \( c \)，售价为 \( p \)，残值（未售出时的单位回收价值）为 \( s \)，且满足 \( p > c > s \)； 目标是最小化期望损失（或最大化期望利润）。 定义订货量 \( Q \)，则实际销售量为 \( \min(Q, D) \)。 期望利润函数的构建 总期望利润 \( \mathbb{E}[ \pi(Q) ] \) 由销售收入、采购成本和残值收益组成： \[ \mathbb{E}[ \pi(Q)] = p \cdot \mathbb{E}[ \min(Q, D)] - cQ + s \cdot \mathbb{E}[ \max(Q-D, 0) ] \] 利用恒等式 \( \min(Q, D) = D - \max(D-Q, 0) \) 和 \( \max(Q-D, 0) = Q - \min(Q, D) \)，可改写为： \[ \mathbb{E}[ \pi(Q)] = (p-c)Q - (p-s) \cdot \mathbb{E}[ \max(Q-D, 0) ] \] 其中 \( \mathbb{E}[ \max(Q-D, 0)] = \int_ 0^Q F(d) \, dd \) 为期望未售出量。 最优解的一阶条件 对 \( \mathbb{E}[ \pi(Q) ] \) 求导（利用莱布尼茨法则），得到边际收益与边际成本的关系： \[ \frac{d\mathbb{E}[ \pi(Q) ]}{dQ} = (p-c) - (p-s) F(Q) \] 令导数为零，解得最优订货量 \( Q^* \) 满足： \[ F(Q^* ) = \frac{p-c}{p-s} \] 比率 \( \frac{p-c}{p-s} \) 称为 关键比率 ，反映了缺货成本与过剩成本的相对权重。 模型扩展与实际问题应用 考虑缺货惩罚 ：若缺货导致额外损失 \( g \)，关键比率变为 \( \frac{p-c+g}{p-s+g} \)； 连续与离散需求 ：离散需求时需找到使 \( F(Q-1) \leq \text{关键比率} \leq F(Q) \) 的 \( Q \)； 多产品与约束 ：在资源约束下可推广为随机规划问题； 数据驱动方法 ：当分布未知时，可用历史数据直接优化经验期望利润。 该模型是库存理论的基础，广泛应用于零售、航空超售和供应链管理。