生物数学中的偏最小二乘回归 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression, PLSR）是一种专门用于处理高维数据、多重共线性问题以及预测变量与响应变量之间复杂关系的多元统计方法。在生物数学中，PLSR常用于分析基因组学、代谢组学、生态学等领域的大规模数据集，其中变量数量可能远超过样本量，且变量间存在高度相关性。 1. 基本思想与适用场景 PLSR的核心思想是通过 降维 和 隐变量提取 ，将高维的预测变量（X）和响应变量（Y）投影到一个低维空间，从而建立两者之间的线性关系。其典型应用场景包括： 基因表达数据与表型关联分析 （如通过基因表达水平预测疾病风险）； 光谱数据建模 （如通过近红外光谱预测生物样本的化学成分）； 生态学数据整合 （如环境因子与物种丰度的关系分析）。 2. 数学模型构建步骤 假设有预测变量矩阵 \( X \in \mathbb{R}^{n \times p} \)（n个样本，p个变量）和响应变量矩阵 \( Y \in \mathbb{R}^{n \times q} \)（q个响应），PLSR通过以下迭代过程提取隐变量（成分）： 协方差最大化 ：找到X和Y的线性组合（即隐变量 \( \mathbf{t} = X\mathbf{w} \) 和 \( \mathbf{u} = Y\mathbf{c} \)），使得\( \mathbf{t} \)和\( \mathbf{u} \)的协方差最大（即\( \max \text{Cov}(\mathbf{t}, \mathbf{u}) \)）。 权重向量计算 ：通过奇异值分解（SVD）或迭代算法（如NIPALS）求解权重向量\( \mathbf{w} \)和\( \mathbf{c} \)。 回归步骤 ：将X和Y分别对隐变量\( \mathbf{t} \)回归，得到载荷向量（\( \mathbf{p} \)和\( \mathbf{q} \)）及残差矩阵： \[ X = \mathbf{t} \mathbf{p}^T + E, \quad Y = \mathbf{t} \mathbf{q}^T + F \] 迭代 ：用残差矩阵E和F替代X和Y，重复上述过程，直至提取足够多的成分。 3. 与主成分回归（PCR）的区别 PCR 仅对X降维（提取主成分），忽略Y的信息，可能导致预测性能下降； PLSR 同时利用X和Y的协方差结构，隐变量直接与Y关联，通常在小样本或高维数据中表现更优。 4. 生物数学中的实际应用 以代谢组学为例，PLSR可用于： 标志物发现 ：通过光谱数据预测代谢物浓度，筛选关键生物标志物； 多组学整合 ：联合分析转录组、蛋白质组数据，揭示生物通路间的关联； 模型验证 ：通过交叉验证评估成分数的选择，避免过拟合。 5. 扩展与挑战 非线性PLSR ：通过核函数（Kernel PLS）处理非线性关系； 稀疏PLSR ：引入L1惩罚项选择重要变量，提升模型可解释性； 计算效率 ：针对超大规模数据（如单细胞测序）需优化算法复杂度。 PLSR通过平衡数据降维与预测目标，为生物数学中的高维数据分析提供了稳健的工具，尤其适用于“变量多、样本少”的典型生物数据集。