复变函数的积分表示

复变函数的积分表示是解析函数理论的核心工具之一，它通过积分形式刻画解析函数的性质，并建立函数与其边界值或奇点分布之间的联系。下面从基础概念到具体表示形式逐步展开说明。

1. 复积分的背景与柯西积分公式回顾

• 已知柯西积分定理（解析函数沿闭曲线的积分为零）和柯西积分公式（用边界值表示内部函数值）：

\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \in \text{内部})。 \]

• 这一公式已说明解析函数可由边界积分完全确定，但仅适用于闭曲线包围的区域。实际中需推广到更一般的积分表示。

2. 柯西型积分：广义表示

• 若函数 \(\phi(\zeta)\) 在曲线 \(C\) 上连续（未必解析），定义柯西型积分：

\[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\phi(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \notin C)。 \]

• 关键性质：
  • \(F(z)\) 在 \(C\) 外任意区域解析；
  • 若 \(\phi(\zeta)\) 本身是某解析函数的边界值，则 \(F(z)\) 可还原该解析函数（如柯西公式）。
• 这一形式将函数的构造与边界值关联，是积分表示的理论基础。

3. 泊松公式：调和函数的积分表示

• 若 \(f(z)\) 在圆盘 \(|z| \leq R\) 解析，其实部 \(u(z)\) 为调和函数，泊松公式给出用边界值表示内部值的方法：

\[ u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\theta - \phi) + r^2} u(Re^{i\phi}) d\phi。 \]

• 意义：调和函数由边界值唯一确定，且公式显式给出计算方式。结合柯西公式还可导出解析函数的类似表示（泊松核与实部、虚部的关系）。

4. 柯西积分表示的推广：非闭曲线与带权函数

• 当区域非单连通或函数有奇点时，需调整积分路径。例如，若 \(f(z)\) 在带形区域解析，可通过傅里叶变换导出积分表示：

\[ f(z) = \int_{-\infty}^{\infty} K(z, t) \hat{f}(t) dt， \]

其中核函数 \(K\) 由区域几何特性决定。

• 应用示例：解析函数的级数展开（如泰勒级数、洛朗级数）本质是积分表示的离散化，其中权函数为幂函数 \((\zeta - z_0)^{-n}\)。

5. 积分表示与边值问题

• 积分表示可用于求解黎曼-希尔伯特问题（给定边界值的解析函数构造）：
  • 设曲线 \(C\) 将复平面分为内外区域，需求解函数 \(f(z)\) 使其在 \(C\) 上满足 \(f^+(\zeta) - f^-(\zeta) = g(\zeta)\)（\(g\) 已知）。
  • 解可表示为：

\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{g(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta。 \]

• 此方法将解析函数的边界约束转化为积分方程，是奇异积分理论的重要应用。

6. 多连通区域的积分表示

• 若区域 \(D\) 由多条闭曲线围成，柯西公式修改为：

\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \sum_{k=1}^n \oint_{C_k} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \quad (z \in D)， \]

其中 \(C_k\) 为边界分量。

• 意义：函数值由所有边界分量的积分共同决定，反映了多连通区域中解析函数的全局依赖性。

总结

复变函数的积分表示不仅统一了解析函数、调和函数的构造方法，还为解决边值问题、奇点分析及数值计算提供了核心工具。从柯西型积分到泊松公式，再到边值问题的推广，逐步揭示了复积分如何深刻刻画函数的解析性、边界行为与几何特征。