好的，我们接下来讲解 保测变换 。 保测变换 基本概念：从动力系统和测度说起 首先，我们需要回顾两个基本概念。一个“动力系统”可以看作是一个规则，描述了空间中一个点如何随着时间演化。这个演化规则由一个映射 \( T \) 来描述。例如，如果系统在时刻0的状态是 \( x \)，那么经过一个单位时间后，它的状态就变成了 \( T(x) \)，经过两个单位时间后是 \( T(T(x)) = T^2(x) \)，以此类推。 其次，为了研究系统的“统计”性质（比如一个点花在某个区域的时间比例），我们需要在系统的状态空间上定义一个“测度”。简单来说，测度就是给空间的子集（我们称之为“可测集”）分配一个非负的数，用来表示该子集的“大小”或“体积”。最直观的例子就是平面上区域的面积，或者三维空间中物体的体积。 保测变换的定义 现在，我们将这两个概念结合起来。假设我们有一个测度空间 \( (X, \mathcal{B}, \mu) \)，其中 \( X \) 是状态空间，\( \mathcal{B} \) 是可测集的集合，\( \mu \) 是测度。同时，我们有一个动力系统由变换 \( T: X \to X \) 描述。 如果变换 \( T \) 满足：对于每一个可测集 \( A \in \mathcal{B} \)，集合 \( A \) 和它的原像 \( T^{-1}(A) \) 具有相同的测度，即： \[ \mu(T^{-1}(A)) = \mu(A) \] 那么，我们就称变换 \( T \) 是一个 保测变换 。 这里 \( T^{-1}(A) \) 表示所有经过 \( T \) 映射后会落入集合 \( A \) 中的点的集合，即 \( T^{-1}(A) = \{ x \in X : T(x) \in A \} \)。 为什么使用原像 \( T^{-1}(A) \) 而不是像 \( T(A) \)？ 这是一个关键点。使用原像 \( T^{-1}(A) \) 的定义在数学上更强大、更普适。因为它不要求变换 \( T \) 是可逆的。即使 \( T \) 不是一对一映射（比如多个点映射到同一个点），原像 \( T^{-1}(A) \) 仍然有明确的定义。如果我们要求 \( \mu(T(A)) = \mu(A) \)，那么当 \( T \) 不是单射时，\( T(A) \) 的“体积”可能会变小（因为点被挤压在一起），这会导致问题。因此，使用原像的定义是更合适的。 直观理解：保持体积的变换 我们可以将保测变换理解为一种“保持体积”的变换。想象一个由无数粒子组成的、不可压缩的流体在流动。在时刻0，这些粒子充满了一个区域 \( A \)。经过一个单位时间后（即应用了变换 \( T \) 后），这些粒子会充满一个新的区域。保测性意味着：无论这个区域 \( A \) 的形状如何，在流动之前和流动之后，它所包含的“流体总量”（即测度）是保持不变的。虽然区域 \( A \) 本身可能被拉伸、扭曲成另一个形状 \( T(A) \)，但如果我们看所有最终会流入某个目标区域 \( B \) 的粒子（这些粒子正好构成 \( T^{-1}(B) \)），那么这些粒子在初始时刻所占的体积 \( \mu(T^{-1}(B)) \)，必然等于目标区域 \( B \) 的体积 \( \mu(B) \)。 例子 圆周旋转 ：设状态空间 \( X \) 是单位圆周，测度 \( \mu \) 是标准弧长。对于任意一个角度 \( \alpha \)，变换 \( T(x) = x + \alpha \) （模 \( 2\pi \) 加法）是一个保测变换。因为它简单地将圆周上的每一点旋转一个固定的角度，显然不会改变任何一段弧的长度。 面包师映射 ：这是一个经典的可逆保测变换的例子，类似于揉面团。将单位正方形 \([ 0,1] \times [ 0,1 ]\) 拉伸、折叠：首先将正方形在水平方向上拉伸两倍，垂直方向上压缩一半，然后像切面包一样从中间切开，再把右边的一半叠到左边一半的上面。这个变换是保测的（保的是面积），它展示了动力系统中混沌和混合的特性。 平移 ：在欧几里得空间 \( \mathbb{R}^n \) 中，任何一个平移变换都是保测变换（保的是勒贝格测度，即通常的体积）。 保测变换在遍历理论中的核心地位 保测变换是 遍历理论 研究的基本对象。我们之前讲过的所有遍历定理（如伯克霍夫、冯·诺依曼定理）都有一个共同的前提：“设 \( T \) 是一个保测变换...”。这是因为遍历性的核心是“时间平均等于空间平均”，而“空间平均”是相对于一个不变的测度来计算的。保测性确保了动力系统在演化过程中，其背后的测度结构是保持不变的，从而为我们研究其长期统计行为提供了稳定的框架。可以说，遍历理论绝大部分内容都是在研究保测变换的性质。