圆的法线

1. 定义
   圆的法线是指过圆上某一点且与该点切线垂直的直线。由于圆的切线垂直于通过切点的半径，因此圆的法线即为通过该切点和圆心的直线（即半径所在的直线）。

2. 几何性质

   • 法线与切线在圆上某点处互相垂直。
   • 法线必通过圆心，因此圆上不同点的法线会交于圆心。
   • 对于标准圆方程 \(x^2 + y^2 = r^2\)，圆上一点 \(P(x_0, y_0)\) 的切线斜率为 \(-\frac{x_0}{y_0}\)（当 \(y_0 \neq 0\)），则法线斜率为 \(\frac{y_0}{x_0}\)（切线斜率与法线斜率乘积为 \(-1\)）。

3. 方程推导
   若圆的方程为 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，圆心为 \(C(a,b)\)，圆上一点 \(P(x_0, y_0)\) 满足方程。

   • 切线斜率由隐函数求导得：

\[ 2(x-a) + 2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x_0-a}{y_0-b} \]

• 法线斜率为切线斜率的负倒数：

\[ m_n = \frac{y_0-b}{x_0-a} \]

• 法线方程为（点斜式）：

\[ y - y_0 = \frac{y_0-b}{x_0-a} (x - x_0) \]

当 \(x_0 = a\) 时，法线为垂直直线 \(x = a\)。

4. 几何意义扩展

   • 法线是圆的对称轴的一部分，圆关于任意直径对称。
   • 在光学中，圆的反射定律涉及法线：入射光与反射光关于法线对称。
   • 法线概念可推广到其他曲线，但圆的法线恒通过圆心，这一性质是圆独有的。

5. 应用示例

   • 求圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 在点 \((3,4)\) 处的法线方程：
     圆心为 \((0,0)\)，法线斜率 \(m_n = \frac{4}{3}\)，方程为 \(y = \frac{4}{3}x\)。
   • 验证法线通过圆心：代入 \((0,0)\) 满足方程。