二次型 第一步：基本概念与定义 二次型是数论和代数中研究的多项式函数，其每一项都是变量的二次项。一般形式为： \[ Q(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) = \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n a_ {ij} x_ i x_ j \quad (a_ {ij} = a_ {ji}) \] 其中 \(a_ {ij}\) 是系数（通常为整数或实数）。例如，二元二次型为： \[ Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \] 这里 \(a, b, c\) 为整数时称为整二次型。二次型可通过对称矩阵表示：\(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\)，其中 \(A\) 是对称矩阵（如二元情况对应矩阵 \(\begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix}\)）。 第二步：分类与矩阵表示 二次型可按矩阵 \(A\) 的性质分类： 正定 ：对所有非零向量 \(\mathbf{x}\)，有 \(Q(\mathbf{x}) > 0\)（等价于 \(A\) 的特征值全为正）。 负定 ：\(Q(\mathbf{x}) < 0\)。 不定 ：既能取正也能取负值。 例如，\(Q(x,y)=x^2+y^2\) 正定，而 \(Q(x,y)=x^2-y^2\) 不定。矩阵表示简化了分析，如判别式 \(\Delta = \det(A)\) 可判断性质（二元时 \(\Delta = ac - b^2/4\)）。 第三步：整数表示问题 数论中核心问题：给定整数 \(n\) 和二次型 \(Q\)，是否存在整数解使 \(Q(\mathbf{x}) = n\)？例如： \(x^2 + y^2 = n\) 何时有整数解？（与费马二平方定理相关） \(x^2 - 2y^2 = n\) 的解与佩尔方程关联（已学词条涉及）。 解的存在性依赖 \(n\) 的模性质。如 \(x^2 + y^2 = n\) 有解需 \(n\) 的素因子中形如 \(4k+3\) 的幂次为偶数。 第四步：等价性与约化理论 为简化问题，引入二次型等价：若存在可逆线性变换 \(T\)（通常要求 \(T\) 为整数矩阵且 \(\det T = \pm 1\)）将 \(Q_ 1\) 变为 \(Q_ 2\)，则二者等价。等价二次型能表示相同的整数集合。 高斯发展二元二次型约化理论：通过变换将 \(Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\) 化为“约化形式”（满足 \(|b| \leq a \leq c\) 等条件），从而分类所有判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 固定的二次型。 第五步：类数与理想类群 固定判别式 \(\Delta\) 的二次型可按等价类分组，类数 \(h(\Delta)\) 是等价类个数。类数有限且与数域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})\) 的理想类群关联：二次型等价类与理想类一一对应。类数1时，二次型唯一（如 \(x^2+y^2\) 对应 \(\Delta=-4\)）。 第六步：应用与推广 二次型用于： 丢番图方程 ：如解 \(x^2 - dy^2 = n\)。 模形式 ：二次型的傅里叶系数与模形式关联，用于研究素数分布。 高维推广 ：如三元二次型 \(x^2+y^2+z^2\) 表示整数（拉格朗日四平方定理）。 现代研究涉及自守形式、p进数等，二次型是连接代数、几何与数论的核心工具。