复变函数的对数函数 首先，我们来回顾实变函数中对数函数的定义。对于正实数 \( x \)，自然对数 \( \ln x \) 是指数函数 \( e^y = x \) 的反函数。在复变函数中，我们希望定义一个函数 \( \log z \)，使其满足 \( e^{\log z} = z \)。然而，由于复指数函数 \( e^w \) 是以 \( 2\pi i \) 为周期的周期函数，这个反函数的定义会变得复杂。 第一步：定义与多值性 对于任意非零复数 \( z \)，我们将其表示为指数形式 \( z = r e^{i\theta} \)，其中 \( r = |z| > 0 \) 是模，\( \theta \) 是辐角。方程 \( e^w = z \) 的解 \( w \) 应满足 \( e^w = e^{u + iv} = r e^{i\theta} \)，这意味着 \( e^u = r \) 且 \( v = \theta + 2k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）。因此，解为 \( w = \ln r + i(\theta + 2k\pi) \)，其中 \( \ln r \) 是实自然对数。于是，我们定义复对数函数为一个多值函数： \[ \log z = \ln |z| + i \arg z = \ln r + i(\theta + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}. \] 这里，\( \arg z \) 表示辐角，它是一个无穷多值的集合。当 \( k = 0 \) 时，我们得到主值，记作 \( \operatorname{Log} z = \ln r + i\theta \)，其中 \( \theta \) 通常取主值范围，如 \( (-\pi, \pi ] \)。 第二步：分支的引入 为了将多值函数变为单值函数，我们需要引入分支的概念。具体做法是：在复平面上从原点出发作一条射线（如负实轴），称为分支割线。然后，在割破的复平面（即复平面去掉分支割线）上，我们可以连续地定义辐角。例如，如果规定辐角主值在 \( (-\pi, \pi) \) 内，则分支割线为负实轴。在这个区域内，我们可以定义单值解析的函数 \( \operatorname{Log} z = \ln r + i\theta \)（\( -\pi < \theta < \pi \)），这称为对数函数的主分支。 第三步：解析性 在去掉分支割线的区域（如复平面去掉负实轴）内，对数函数的主分支 \( \operatorname{Log} z \) 是解析的。我们可以通过验证柯西-黎曼方程来证明这一点。令 \( z = x + iy \)，则在该区域内，有： \[ \frac{d}{dz} \operatorname{Log} z = \frac{1}{z}. \] 这个导数公式与实对数函数类似，但需要注意它只在定义域内成立。分支割线上的点通常不包含在定义域内，因为函数在那里不连续或不可导。 第四步：性质 复对数函数保留了一些实对数的性质，但需谨慎处理多值性。例如： \( \log(z_ 1 z_ 2) = \log z_ 1 + \log z_ 2 + 2k\pi i \)（等式应理解为集合相等，即左右两边的集合相同）。 \( \log(z_ 1 / z_ 2) = \log z_ 1 - \log z_ 2 + 2k\pi i \)。 \( \log(z^n) = n \log z + 2k\pi i \)（\( n \) 为整数）。 这些等式中的 \( 2k\pi i \) 项体现了多值性带来的影响。 第五步：应用与拓展 复对数函数是定义复幂函数的基础。对于复数 \( a \) 和 \( z \neq 0 \)，复幂函数定义为 \( z^a = e^{a \log z} \)，这同样是一个多值函数（除非 \( a \) 为整数）。此外，对数函数在计算复积分、研究保形映射（例如将复杂区域映射为带状区域）以及解析延拓中都有重要应用。