哈尔测度的唯一性 哈尔测度的唯一性定理是调和分析中的一个基本结果，它指出在局部紧拓扑群上，若不计常数倍的区别，存在且仅存在一个左不变的哈尔测度。 第一步：回顾核心概念——局部紧拓扑群 群 ：首先，一个集合G是一个群，如果它配备了一种二元运算（例如乘法），满足结合律、存在单位元（例如e，使得e·g = g·e = g），并且每个元素g都存在逆元g⁻¹。 拓扑群 ：一个群G如果同时是一个拓扑空间，并且群运算（乘法和取逆）都是连续的映射，则称为拓扑群。具体来说，由G×G到G的映射 (g, h) -> g·h 和由G到G的映射 g -> g⁻¹ 都必须是连续的。 局部紧拓扑群 ：一个拓扑群G，如果它的拓扑是局部紧的（即每个点都有一个紧邻域），则称为局部紧拓扑群。常见的例子包括： 欧几里得空间 Rⁿ（加法群）。 正实数乘法群 (R⁺, ×)。 环面（圆周的乘积）。 矩阵群，如一般线性群GL(n, R)（在子空间拓扑下）。 第二步：重温不变性的核心思想——哈尔测度 测度 ：在可测空间(X, Σ)上，一个测度μ是一个从Σ到[ 0, ∞ ]的函数，满足空集的测度为0，并且具有可数可加性。 左不变性 ：设G是一个局部紧拓扑群。一个测度μ（定义在G的博雷尔σ-代数上）称为 左不变的 ，如果对于G的每个博雷尔子集E和每个元素g ∈ G，都有 μ(gE) = μ(E)。这里，gE = { g·h | h ∈ E } 是集合E通过左平移g得到的像。这意味着测度在群的左平移变换下保持不变。 哈尔测度 ：一个在局部紧拓扑群G上的 左哈尔测度 ，就是一个在G的所有博雷尔集上有定义的、非零的、左不变的、正则的博雷尔测度。（正则性条件确保了测度与拓扑有良好的互动）。 第三步：唯一性定理的精确表述 哈尔测度的唯一性定理可以严格表述如下： 定理 ：设G是一个局部紧拓扑群。如果μ和ν都是G上的左哈尔测度，那么存在一个正实数c > 0，使得对于G的每一个博雷尔子集E，都有 ν(E) = c · μ(E)。 换句话说，任何两个左哈尔测度都只相差一个正的常数因子。我们说左哈尔测度在“相差一个正数倍”的意义下是 唯一的 。 第四步：理解唯一性的直观含义和重要性 “本质唯一” ：这个定理并不意味着只有一个左哈尔测度。实际上，如果你有一个左哈尔测度μ，那么对于任何常数c>0，cμ也是一个左哈尔测度。定理说的是， 所有可能的左哈尔测度都只能以这种方式产生 。不存在两个本质上不同的、互不成比例的左不变测度。 标准化 ：由于这种唯一性，我们可以通过选择一个特定的“标准化”条件来固定一个唯一的哈尔测度。例如，在紧群上，通常要求整个群的测度为1（即概率测度）。在实数加法群R上，我们通常选择标准的勒贝格测度，它使得单位区间[ 0,1 ]的测度为1。 应用基础 ：唯一性定理是调和分析的基石。它保证了诸如卷积、群上的傅里叶变换等概念是良定义的，并且许多结论不依赖于我们具体选择的哪个哈尔测度（只要在计算中保持一致性）。 第五步：证明思路的概览（非严格证明） 唯一性定理的证明思路非常精巧，其核心步骤如下： 固定一个参考函数 ：假设μ和ν是两个左哈尔测度。目标是证明ν = cμ。证明通常从考虑一个固定的、性质良好的非负连续函数f₀（具有紧支撑）开始。 将ν与μ联系起来 ：对于任意另一个非负连续函数g（具有紧支撑），关键的一步是证明比值 ∫g dν / ∫g dμ 实际上是一个常数（与函数g的选择无关！）。 这个证明利用了左不变性。通过比较函数g和f₀在群上的积分，并利用平移和Fubini定理交换积分顺序，可以证明： (∫g dν) * (∫f₀ dμ) = (∫f₀ dν) * (∫g dμ) 得出常数c ：将上述等式重新排列，得到： ∫g dν = [ (∫f₀ dν) / (∫f₀ dμ) ] * ∫g dμ 我们注意到，对于所有函数g，比值 (∫g dν) / (∫g dμ) 都等于同一个常数 c = (∫f₀ dν) / (∫f₀ dμ)。 推广到所有集合 ：既然对于一大类“测试函数”（如连续紧支撑函数），都有 ∫g dν = c ∫g dμ，那么通过测度论中的标准技术（例如Riesz表示定理或单调类定理），可以推导出对于所有博雷尔集E，也必然有 ν(E) = c μ(E)。这就完成了证明。