代数整数 代数整数是代数数的一个特殊子集。一个复数被称为代数整数，如果它是某个首一整数系数多项式的根 e.g., x² - 2 = 0 的根 √2 是代数整数。 首先，我们从更基础的代数数概念出发。一个复数被称为代数数，如果它是某个非零有理系数多项式的根。例如，√2 是代数数，因为它是 x² - 2 = 0 的根。所有代数数的集合构成一个域，记为 Q͞（Q的代数闭包）。 代数整数则是对代数数施加了更强的限制。它要求这个多项式不仅是整数系数的，其首项系数（即最高次项的系数）还必须为1。这样的多项式称为首一多项式。例如： √2 是代数整数，因为它是首一多项式 x² - 2 = 0 的根。 黄金比例 φ = (1+√5)/2 是代数整数，因为它是 x² - x - 1 = 0 的根。 但是，普通的整数（如 1, 2, 3...）显然是代数整数，因为它们是 x - a = 0 的根。 而 1/2 不是代数整数，因为满足 2x - 1 = 0 的多项式不是首一的。任何有理数，如果它不是整数，那么它就不是代数整数。 接下来，我们探讨代数整数集合的性质。数域 K（即Q的有限次扩张）中的代数整数全体构成一个环，记为 𝓞_ K。这个环是整数环 Z 在数域 K 中的一种自然推广。例如： 对于有理数域 Q，其代数整数环就是普通的整数环 Z。 对于二次域 Q(√d)（其中d为无平方因子的整数），其代数整数环 𝓞 有两种形式： 如果 d ≡ 2 或 3 (mod 4)，则 𝓞 = Z[ √d ] = {a + b√d | a, b ∈ Z}。 如果 d ≡ 1 (mod 4)，则 𝓞 = Z[ (1+√d)/2 ] = {a + b(1+√d)/2 | a, b ∈ Z}。 代数整数环 𝓞_ K 是一个整环，并且是一个戴德金整环。这意味着在 𝓞_ K 中，虽然唯一的因子分解性（即每个元素都能唯一分解为素元的乘积）不一定成立，但理想唯一分解定理是成立的：每个非零理想都可以唯一地分解为素理想的乘积。这个深刻的性质是代数数论的核心支柱之一。 最后，代数整数的概念是研究数域算术性质的基础。通过研究代数整数环 𝓞_ K 的理想类群、单位群等不变量，我们可以深入理解数域的代数结构，并解决许多经典的数论问题，例如费马大定理的证明就深刻依赖于椭圆曲线和模形式的相关理论，而这些理论又与代数整数环的性质紧密相连。