即参数方程：  

圆的旋轮线 圆的旋轮线的定义 圆的旋轮线（又称摆线）是指一个圆在一条直线上无滑动地滚动时，圆上固定一点所经过的轨迹。假设圆的半径为 \( r \)，滚动直线为水平轴，初始时该点位于直线上的原点。当圆滚动角度 \( \theta \) 后，圆心的水平位移为 \( r\theta \)，竖直坐标恒为 \( r \)。 参数方程推导 设圆上点的初始位置为 \( (0,0) \)。当圆顺时针滚动 \( \theta \) 弧度时： 圆心坐标：\( (r\theta, r) \) 圆上点相对于圆心的位置因旋转角度 \( \theta \) 变为： \( (-r\sin\theta, -r\cos\theta) \)（注意：初始点时在圆底部，旋转后需用三角函数调整） 合成轨迹点坐标： \[ x = r\theta - r\sin\theta, \quad y = r - r\cos\theta \] 即参数方程： \[ x = r(\theta - \sin\theta), \quad y = r(1 - \cos\theta) \] 几何性质 弧长 ：一拱（对应 \( \theta \in [ 0, 2\pi ] \)）的弧长为 \( 8r \)。 推导：利用弧长公式 \( L = \int \sqrt{(dx/d\theta)^2 + (dy/d\theta)^2} d\theta \)， \( dx/d\theta = r(1 - \cos\theta), \quad dy/d\theta = r\sin\theta \)， 得 \( ds = r\sqrt{2(1 - \cos\theta)} d\theta = 2r\sin(\theta/2) d\theta \)，积分得 \( L = 8r \)。 面积 ：一拱与基线围成的面积为 \( 3\pi r^2 \)。 利用参数方程积分：\( A = \int y dx = \int_ 0^{2\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta \)。 物理意义与应用 最速降线问题 ：旋轮线是质点仅在重力作用下从一点到另一点时间最短的路径（等时性）。 齿轮设计 ：旋轮线齿廓可减少摩擦和磨损。 摆线钟 ：惠更斯利用旋轮线的等时性设计精确钟摆。