圆的弦和弧 我们先从圆的基本组成部分开始。一条弦是连接圆上任意两点的线段。你可以想象一下，圆是一个披萨，弦就是不用经过圆心，直接切下的一刀（当然，这一刀是直的）。最长的弦一定会经过圆心，那就是直径。 与弦紧密相关的是弧。弧是圆上两点之间的部分，也就是弦所对应的那一段弯曲的圆周。一条弦会对应两段弧，通常我们讨论的是那条小于或等于半圆的弧，称为“劣弧”；大于半圆的则称为“优弧”。 现在，我们来看弦的一个重要性质：垂直于弦的直径。如果有一条直径垂直于某条弦，那么这条直径会平分这条弦，同时也会平分这条弦所对的两条弧。换句话说，圆心到弦的垂直线既是弦的垂直平分线，也是其所对圆心角的角平分线。这个性质是证明很多其他定理的基础。 基于这个性质，我们可以推导出在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；反之，相等的弦所对的圆心角也相等。同时，圆心角越大，它所对的弦也越长（在锐角范围内）。 接下来，我们讨论两条弦的关系。如果圆内有两条弦相交，那么交点会将每条弦分成两段。这里有一个非常重要的定理，叫做“相交弦定理”：当圆内两条弦AB和CD相交于点P时，有 PA × PB = PC × PD。这个定理揭示了弦被交点分成的两段长度之间的乘积关系是恒等的。 最后，我们扩展一下，考虑一条弦和一条经过弦的端点（在圆外）的切线。这里有一个“弦切角定理”：弦切角（顶点在圆上，一边是切线，另一边是弦的角）的度数，等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。这个定理将圆的切线和弦的性质联系了起来，是解决许多几何问题的关键。