微分几何的起源与发展 微分几何是数学中研究曲线、曲面及更一般空间几何性质的学科，其核心工具是微积分。它的发展可分为以下几个阶段： 一、早期萌芽：曲线与曲率的直观描述 17世纪，微积分的创立为几何研究提供了新方法。牛顿和莱布尼茨用导数分析曲线的切线，但系统性研究始于欧拉（Euler）和蒙日（Monge）。 欧拉的工作 （18世纪）：他参数化空间曲线，引入弧长作为参数，并定义了曲率（描述曲线弯曲程度的量）。对于曲面，他提出“欧拉示性数”的雏形，但尚未建立曲面的内在几何。 蒙日的贡献 ：作为画法几何的奠基人，他将曲面视为一族曲线的包络，并研究曲面的切平面和法线，为后续曲率理论奠定基础。 二、高斯革命：曲面内在几何的诞生 19世纪初，高斯（Gauss）在《曲面的一般研究》（1827）中实现了关键突破： 第一基本形式 ：用曲面上点的坐标微分 \(du, dv\) 定义弧长元素 \(ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2\)，表明弧长仅依赖曲面本身，而非外部空间。 高斯曲率 ：通过第二基本形式与第一基本形式的比值定义曲率 \(K\)，并证明 高斯绝妙定理 ：曲率仅由第一基本形式决定（即曲面内在性质）。例如，圆柱与平面局部等距（可相互弯曲贴合），因它们的高斯曲率均为零。 这一发现标志微分几何从“外在几何”（依赖嵌入空间）转向“内在几何”（关注曲面自身度量）。 三、黎曼几何：从曲面到高维流形 19世纪中期，黎曼（Riemann）在高斯思想基础上推广到任意维空间： 黎曼流形 ：在1854年就职演说中，他提出用度量张量 \(g_ {ij}\) 定义n维流形上每点的距离概念，即 \(ds^2 = \sum g_ {ij} dx^i dx^j\)。 曲率张量 ：黎曼引入刻画流形弯曲程度的复杂曲率概念（后由克里斯托费尔等人发展为黎曼曲率张量）。例如，球面具有恒定正曲率，而双曲空间具有负曲率。 黎曼几何为爱因斯坦广义相对论（描述引力为时空曲率）提供了数学框架。 四、嘉当与整体微分几何的兴起 20世纪初，嘉当（Cartan）通过 活动标架法 和 外微分形式 简化曲率计算，并引入“联络”概念（描述向量沿流形移动时的变化）。后续发展包括： 陈省身的工作 ：1940年代，他利用纤维丛理论将曲率与拓扑不变量（如陈类）关联，证明高维高斯-博内定理（流形总曲率等于欧拉示性数），连接局部几何与整体拓扑。 现代分支 ：如极小曲面理论（解决普拉托问题）、几何流（里奇流用于庞加莱猜想证明）等，体现微分几何与拓扑、物理的深度融合。 总结 微分几何从曲线曲面的局部分析，逐步演变为研究流形内在结构的核心学科，其发展始终围绕“曲率”这一核心概念，并深刻影响了现代数学和物理学。