哈尔测度的唯一性 哈尔测度是定义在局部紧拓扑群上的一类特殊的测度，其核心特性是平移不变性。你已经了解了哈尔测度的存在性，现在我们将深入探讨其在某种意义下的“唯一性”，这是其另一个基本且重要的性质。 重温核心概念：局部紧拓扑群与平移不变性 一个 局部紧拓扑群 G 是一个兼具群结构和局部紧拓扑空间的集合，并且群的乘法运算和取逆运算都是连续的。简单来说，群中的元素可以连续地进行运算。常见的例子包括：实数集 R（加法群）、单位圆 T（乘法群）、以及一般线性群 GL(n, R)。 哈尔测度 是定义在 G 的所有博雷尔子集上的一个正测度 μ，它满足 平移不变性 。即，对于 G 中任意元素 g 和任意博雷尔集 E，有 μ(gE) = μ(E)，其中 gE = { g·x | x ∈ E } 是集 E 的左平移。这样的测度被称为 左哈尔测度 。类似地，可以定义满足 μ(Eg) = μ(E) 的 右哈尔测度 。 唯一性定理的表述 哈尔测度的唯一性定理指出：在任何一个局部紧拓扑群上， 在相差一个正常数因子的意义下，左哈尔测度是唯一的 。 更精确地说：如果 μ 和 ν 都是群 G 上的非零左哈尔测度（即它们都是定义在 G 的博雷尔集上的正则博雷尔测度，并且是左平移不变的），那么存在一个常数 c > 0，使得对于所有博雷尔集 E，都有 ν(E) = c · μ(E)。 理解“唯一性”的含义 这个定理并不意味着群上只能有一种平移不变的测度。它意味着，任何两个这样的测度必然是“成比例”的。 例如，在实数群 (R, +) 上，我们通常使用的勒贝格测度 λ 是一个左哈尔测度（因为 λ(a+E) = λ(E)）。但是，测度 μ(E) = 2·λ(E) 同样是一个左哈尔测度。唯一性定理告诉我们，R 上的任何一个左哈尔测度都必须是某个常数乘以勒贝格测度。 这种“在相差一个正数倍的意义下唯一”的性质，被称为 唯一性 。它保证了哈尔测度在本质上是确定的，我们可以通过选择一个特定的“标准化”来固定一个基准。 模函数（模特征标）与单模群 虽然左哈尔测度在正数倍意义下唯一，但一个群上的左哈尔测度和右哈尔测度可能并不相同。它们之间的关系由一个称为 模函数 （或称模特征标）的群同态 Δ: G → (0, ∞) 来描述。 具体地，如果 μ 是一个左哈尔测度，那么对于任意博雷尔集 E，由 ν(E) = μ(Eg) 定义的测度 ν 也是一个左哈尔测度。根据唯一性定理，存在一个依赖于 g 的常数 Δ(g) > 0，使得 μ(Eg) = Δ(g) μ(E)。这个函数 Δ(g) 就是模函数。 如果一个群 G 上的左哈尔测度同时也是一个右哈尔测度（即 μ(gE) = μ(Eg) = μ(E)），那么我们称 G 为 单模群 。对于单模群，其模函数恒等于 1 (Δ(g) ≡ 1)。阿贝尔群、紧群都是单模群的例子。在单模群上，我们可以不加区分地谈论“哈尔测度”。 唯一性定理的意义与应用 理论基石 ：唯一性定理与哈尔测度的存在性定理共同构成了调和分析在局部紧群上发展的基础。它保证了诸如卷积、群傅里叶变换等概念的良好定义。 标准化 ：在具体应用中，我们可以利用唯一性对哈尔测度进行标准化。例如，在紧群上，我们可以唯一地选择那个满足 μ(G) = 1 的哈尔测度（称为 哈尔概率测度 ）。在实数轴上，我们通常选择标准的勒贝格测度。 不变性的表征 ：该定理强化了平移不变性是定义群上“体积”或“测度”概念的决定性因素。任何满足左平移不变性的正则博雷尔测度，都必然是哈尔测度的倍数。 总结来说，哈尔测度的唯一性定理告诉我们，在局部紧拓扑群上，平移不变性这一强约束条件，几乎完全确定了该群上的测度结构，使其在本质上唯一。这一定理与存在性定理相辅相成，是连接拓扑、群论和测度论的一个关键桥梁。