复变函数的极点性质 1. 极点的基本定义 极点是一种特殊的孤立奇点。若函数 \( f(z) \) 在点 \( z_ 0 \) 的某个去心邻域内解析，且其洛朗级数展开中仅包含有限个负幂次项，即存在正整数 \( m \) 使得： \[ f(z) = \frac{a_ {-m}}{(z-z_ 0)^m} + \cdots + \frac{a_ {-1}}{z-z_ 0} + a_ 0 + a_ 1(z-z_ 0) + \cdots \quad (a_ {-m} \neq 0), \] 则称 \( z_ 0 \) 为 \( f(z) \) 的 m 阶极点 。特别地，当 \( m=1 \) 时称为 单极点 。 2. 极点的等价判定条件 极点可通过以下方式等价描述： 极限行为 ：\( \lim_ {z \to z_ 0} |f(z)| = +\infty \)。这意味着函数在极点附近无界增长。 倒数函数 ：若定义 \( g(z) = 1/f(z) \)，则 \( z_ 0 \) 是 \( f(z) \) 的 \( m \) 阶极点当且仅当 \( z_ 0 \) 是 \( g(z) \) 的 \( m \) 阶零点（且 \( g(z) \) 在 \( z_ 0 \) 处解析）。 因式分解 ：存在在 \( z_ 0 \) 处解析的函数 \( h(z) \) 满足 \( h(z_ 0) \neq 0 \)，使得 \( f(z) = \frac{h(z)}{(z-z_ 0)^m} \)。 3. 极点的局部性质 留数计算 ：极点的留数仅依赖于洛朗级数的 \( (z-z_ 0)^{-1} \) 项系数 \( a_ {-1} \)。对于 \( m \) 阶极点，留数公式为： \[ \operatorname{Res}(f, z_ 0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_ {z \to z_ 0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z-z_ 0)^m f(z) \right ]. \] 保角性破坏 ：尽管极点属于孤立奇点，但函数在极点附近不再保持保角性（因导数无定义）。 4. 极点与有理函数的关系 有理函数（即两个多项式的商）的奇点均为极点。例如，\( f(z) = \frac{z^2+1}{(z-1)^3} \) 在 \( z=1 \) 处有一个三阶极点。 极点的阶数由分母多项式的零点重数决定，而分子在该点的零点可能降低极点的实际阶数（需通过因式分解验证）。 5. 极点在复积分中的应用 留数定理的核心应用之一是计算围绕极点的积分。例如，若闭合路径 \( C \) 仅包围一个 \( m \) 阶极点 \( z_ 0 \)，则： \[ \oint_ C f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}(f, z_ 0). \] 这一性质广泛用于实积分计算（如通过围道积分法处理三角函数积分）。 6. 极点与亚纯函数的联系 若函数在复平面上除极点外处处解析，则称为 亚纯函数 。极点的分布和阶数决定了亚纯函数的全局结构，例如有理函数是仅以极点为奇点的亚纯函数。 7. 极点的几何视角 在黎曼球面 \( \hat{\mathbb{C}} \) 上，极点可视为函数值趋于无穷远点 \( \infty \) 的点。通过球极投影，极点与其他点具有对称性，这为研究函数在无穷远点的行为提供统一框架。